GEOMETRIA APPROFONDIMENTO A P determinare l espressione algebrica della funzione ottenuta dalla rotazione di +45° rispetto all origine utilizziamo una importante proprietà Per dell iperbole equilatera enunciata dal seguente teorema: In una iperbole equilatera tutti i rettangoli individuati da un suo punto, dal centro di simmetria e dai suoi asintoti hanno area uguale. a2 Nell iperbole equilatera di equazione x 2 y 2 = a 2, tale area è uguale alla metà dell area del quadrato a cui essa è esterna: _ . 2 Il teorema si riferisce a una qualsiasi iperbole equilatera, di equazione x 2 y 2 = a 2. Se ruotiamo l iperbole di +45° in modo che i suoi asintoti coincidano con gli assi cartesiani, effettuiamo una isometria e quindi le aree rimangono invariate. L iperbole risulta ancora formata da tutti i punti per i quali è costante l area dei rettangoli a essa sottesi: il rettangolo individuato da ogni punto P(x ; y) dell iperbole ha area xy. y P x a2 In base al teorema quindi, per ogni punto dell iperbole vale la relazione xy = __, essendo a la distanza di ognuno dei due vertici dell iperbole 2 a2 __ dall origine. Se poniamo = k, l iperbole equilatera con asintoti coincidenti con gli assi cartesiani ha quindi equazione xy = k cioè (essendo 2 k Approfondisci sempre x 0): y = _ (con k 0). x Dimostrazione del teorema sui rettangoli sottesi all iperbole esempio 8 O Disegna approssimativamente per punti il grafico della funzione y = __ e verifix ca che è ottenuto dal grafico dell iperbole equilatera di equazione x2 y2 = 16 mediante una rotazione degli assi di 45°. 8 Per disegnare il grafico della funzione y = __ dobbiamo determinare alcuni x punti aiutandoci con una tabella: 418 x y 1 8 2 4 4 2 1 8 2 4 4 2 y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 8 7 6 5 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 x