8 Ellissi, iperboli, parabole Vediamo ora come sia possibile individuare geometricamente i fuochi di un ellisse partendo dal suo disegno. Poiché b2 + c2 = a2 i tre valori b, c e a soddisfano il teorema di Pitagora e possono essere considerate come le misure dei tre lati di un triangolo rettangolo, in cui a è l ipotenusa. Quindi, indicando con C un estremo del diametro minore dell ellisse e tracciando una circonferenza con centro in C e di raggio a, questa interseca il diametro maggiore in due punti, che necessariamente sono i fuochi F1 e F2 dell ellisse. Infatti, OCF1 e OCF2 sono due triangoli rettangoli di ipotenusa a e cateto b: i cateti sul diametro maggiore misurano necessariamente c. A F1 C a b a O c F2 FISSA I CONCETTI B Ellisse: luogo dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti detti fuochi: è una curva simmetrica centralmente 2a = lunghezza diametro maggiore 2b = lunghezza diametro minore 2c = distanza tra i fuochi k = 2a: la somma delle distanze dai fuochi è uguale alla lunghezza del diametro maggiore dell ellisse c Eccentricità dell ellisse: __ a L equazione dell ellisse Consideriamo nel piano cartesiano una circonferenza di centro l origine e raggio unitario; scelto un numero reale positivo a, effettuiamo lo stiramento di equazioni: x = ax {y = y che lascia inalterate le ordinate di ogni punto e trasforma le ascisse secondo il rapporto a. Tale trasformazione fa corrispondere alla circonferenza una curva chiusa, ancora simmetrica centralmente. (x ; y) (ax ; y) O Dimostriamo che tale curva è un ellisse verificando che possiamo individuare due punti su uno dei suoi assi di simmetria tali che la somma delle distanze di 399