ALGEBRA O Determina il minimo comune multiplo e il massimo comune divisore dei seguenti polinomi: a+b a 2 + b2 a3 + b3 2a2b 2ab2 + 2b3 I polinomi a + b e a2 + b2 non sono scomponibili; per gli altri abbiamo: è la somma di due cubi a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2) falso quadrato 2a2b 2ab2 + 2b3 = 2b(a2 ab + b2) Quindi: mcm: 2b(a2 ab + b2)(a + b)(a2 + b2) MCD: 1 O Determina il minimo comune multiplo e il massimo comune divisore dei seguenti polinomi: 3x2 x 3xy + y 9x2 6x + 1 3xy 3y2 Scomponendo in fattori i tre polinomi, otteniamo: 3xy 3y2 = 3y(x y) 3x2 x 3xy + y = x(3x 1) y(3x 1) = (3x 1)(x y) 9x2 6x + 1 = (3x 1)2 Quindi: mcm: 3y(x y)(3x 1)2 MCD: 1 PROVA TU P D Determina MCD e mcm dei seguenti polinomi: x 4 x 3y x 4y 2 x 2y 4 x 2y + y 3 2xy 2 ATTENZIONE! A Il primo polinomio si può scomporre anche dividendolo per (x 1). Infatti, per il teorema di Ruffini, essendo x = 1 un suo zero, si scompone in: 2x3 2x2 + x 1 = = (x 1)(2x2 + 1) FISSA I CONCETTI Q Q Il MCD fra polinomi è il prodotto dei fattori comuni considerati con il minimo esponente. Il mcm fra polinomi è il prodotto dei fattori comuni e non comuni considerati con il massimo esponente. 36 O Determina il minimo comune multiplo e il massimo comune divisore dei seguenti polinomi: x4 y4 2x2y 2xy2 2x3y 4x2y2 + 2xy3 Scomponendo in fattori i tre polinomi, otteniamo: 2x3y 4x2y2 + 2xy3 = 2xy(x2 2xy + y2) = 2xy(x y)2 x4 y4 = (x2 + y2)(x2 y2) = (x2 + y2)(x + y)(x y) 2x2y 2xy2 = 2xy(x y) Quindi: mcm: 2xy(x y)2(x + y)(x2 + y2) MCD: x y O Determina il minimo comune multiplo e il massimo comune divisore dei seguenti polinomi: x3 1 x2 1 2x 2 2x3 2x2 + x 1 2 Mettendo in evidenza per parti 2x tra i primi due monomi e 1 tra gli ultimi due otteniamo: 2x3 2x2 + x 1 = 2x2(x 1) + 1(x 1) = raccogliendo poi a fattore comune il fattore (x 1) abbiamo: = (x 1)(2x2 + 1) Scomponiamo anche gli altri polinomi: x3 1 = (x 1)(x2 + x + 1) x2 1 = (x + 1)(x 1) 2x 2 = 2(x 1) Quindi: mcm: 2(x 1)(x + 1)(x2 + x + 1)(2x2 + 1) MCD: x 1