GEOMETRIA ferenza di centro A e di raggio AC. Otteniamo il punto P che è il punto cercato, infatti per il corollario del teorema della tangente e della secante: AD : AB = AB : AC ma AD = AC + CD AP + AB quindi (AP + AB) : AB = AB : AC (AP + AB AB) : AB = (AB AC) : AC AP : AB = PB : AC AB : AP = AC : PB AB : AP = AP : PB 32 Dimostra che, se AP è la sezione aurea di AB, il segmento AC AB + AP ha come sezione aurea AB e PB è sezione aurea di AP. 37 Dimostra che la differenza tra un segmento e la sua sezione aurea è sezione aurea della sezione aurea. 33 Dimostra che il rapporto tra la diagonale e il lato di un pentagono regolare è il numero aureo. 38 34 Dimostra che condizione necessaria e sufficiente perché un triangolo isoscele abbia l angolo al ver1 tice di ampiezza __ di angolo piatto è che la base 5 sia sezione aurea del lato. Dimostra che ogni diagonale di un pentagono regolare determina la sezione aurea delle diagonali che interseca. 39 Dimostra che le due diagonali di un pentagono regolare uscenti da uno stesso vertice intersecano una terza diagonale dividendola in tre parti di cui due sono la sezione aurea del lato e la terza è la sezione aurea di ognuna delle altre due. 35 36 Costruisci un rettangolo le cui dimensioni abbiano come rapporto il numero aureo, ricordando che il segmento che unisce il punto medio del lato di un quadrato lungo l con un vertice del lato oppo__ 5 sto è lungo l___. Qual è il rapporto tra l area del 2 rettangolo costruito (a cui si dà il nome di rettangolo aureo) e quella del quadrato di lato l? 40 Dimostra che l espressione infinita: _____________________ ________________ ___________ ______ 1 + 1 + 1 + 1 + è uguale al numero aureo (se chiami x il risultato dell espressione, puoi notare che x2 = x + 1, ). 41 In un triangolo isoscele ABC, di vertice A e angolo al vertice di 36°, traccia la bisettrice BD dell an che interseca B e la bisettrice dell angolo C golo in E l altra bisettrice tracciata. Come sono i triangoli ABC e BCD? E i triangoli BCD e CED? Calcola i rapporti tra AB e BC, tra BC e CD, tra CD e ED. Come proseguiresti la costruzione di triangoli aurei a partire dal triangolo CDE? Dimostra che l espressione infinita: 1 1 + _____________ 1 1 + __________ 1 1 + ______ 1+ è uguale al numero aureo (se chiami x l espres1 sione, puoi notare che x = 1 + __, ). x 3 L omotetia e la similitudine Teoria da pag. 313 PER FISSARE I CONCETTI 42 LESSICO Definisci l omotetia di centro e rapporto assegnati. 43 Dimostra che l omotetia conserva le direzioni e gli angoli. 44 332 Dimostra che l omotetia conserva il rapporto tra i segmenti. 45 ARGOMENTA Perché possiamo dire che l omotetia conserva le direzioni, mentre la similitudine non necessariamente le conserva? 46 ARGOMENTA Spiega come è possibile ottenere, componendo più trasformazioni, una similitudine invertente.