6 Similitudini e affinità golare in dieci triangoli isosceli congruenti aventi ciascuno come base il suo lato e come lati obliqui due raggi della circonferenza circoscritta (vedi figura a lato). B, è Fissiamo l attenzione su uno di questi triangoli, OAB. L angolo al centro AO la decima parte dell angolo giro: la sua ampiezza in gradi misura 36°. Perciò: 180° 36° B O OA BA = _ = 72° 2 Tracciamo la bisettrice AC dell angolo in A. Abbiamo: O A 72° C CA O = _ BA = 36° 2 Il triangolo OAC è isoscele di vertice C essendo i due angoli di tale triangolo di rispettivi vertici O e A congruenti (entrambi misurano 36°). Quindi OC AC. Inoltre: C = 180° 72° 36° = 72° B = 180° OB A BA AC Anche il triangolo ABC è pertanto isoscele di vertice A e AB AC. Il triangolo ABC è inoltre simile al triangolo OAB per il primo criterio di similitudine e quindi possiamo scrivere la proporzione: OB ___ AB ___ = FISSA I CONCETTI Q Q Q AB BC Poiché AB AC OC, possiamo riscrivere la proporzione in un altro modo, che rende evidente che OC (congruente al lato AB del decagono) è la sezione aurea del raggio OB della circonferenza circoscritta: Q OB ___ OC ___ = OC B C BC La sezione aurea di un segmento è il medio proporzionale tra il segmento e la parte rimanente. La sezione aurea di un segmento di lunghezza l ha lunghezza _ 5 1 _ l. 2 Numero aureo: rapporto tra un segmento e la sua sezione aurea. un numero irrazionale che approssimato a meno di un centesimo è uguale a 1,62. Il lato del decagono regolare è la sezione aurea del raggio della circonferenza circoscritta. 3 L omotetia e la similitudine Esercizi da pag. 332 Come sappiamo (vedi unità 3), l omotetia è una trasformazione geometrica del piano che realizza l ingrandimento o la riduzione delle figure. Può essere vista come una proiezione da un punto del piano, che resta fisso e che indichiamo con P, di tutti i punti della figura da trasformare. Se |k| > 1 si produce un ingrandimento in scala della figura stessa, se 0 < |k| < 1 questa risulta invece ridotta (in scala) e se, infine |k| = 1 anche le misure delle lunghezze non cambiano e l omotetia è una isometria. A seconda del segno del rapporto k, abbiamo osservato che ogni punto della figura trasformata è dalla stessa parte (se k è positivo) o dalla parte opposta rispetto al punto fisso P. C A P P B B C k=2 A B A B C A A P B B C k=1 2 C A Vogliamo ora approfondire lo studio dell omotetia nell ambito della costruzione assiomatica del piano; ne riportiamo quindi di nuovo la definizione e dimostriamo alcune sue proprietà finora osservate soltanto graficamente. C k = 2 C A B P A k = 1 2 B C 313