ALGEBRA Esercizi da pag. 50 1 Le scomposizioni elementari In una espressione letterale definita in un dato insieme numerico, le lettere rappresentano elementi di tale insieme. Ricorriamo al loro impiego per esprimere relazioni che non riguardano numeri specifici perché valgono in generale. Così se scriviamo che, nell insieme dei numeri reali R, (a + b 2a) = b a indichiamo una relazione che è vera qualunque siano i numeri reali che sostituiamo alle lettere a e b. Con l impiego di lettere, quali rappresentanti generali di numeri di un dato insieme, costruiamo le espressioni letterali, il cui valore numerico si avrà se sostituiremo a ciascuna lettera un numero appartenente all insieme. Conviene comunque ridurre le espressioni alla loro forma più semplice possibile prima di operare tale sostituzione e proprio per questo si sviluppa il calcolo letterale: un calcolo in cui compaiono numeri e lettere e, come già sai, monomi e polinomi. Per semplificare una espressione letterale non elementare, in cui compaiono monomi e polinomi, conviene spesso ridurla a prodotto di espressioni più semplici e per questo può aiutarci la scomposizione in fattori dei polinomi: una strategia particolarmente utile quando nell espressione compare una divisione tra polinomi. Nel biennio avrai già sentito parlare della scomposizione in fattori di un polinomio; in questa unità vogliamo richiamare le tecniche che già conosci e studiarne di nuove. Successivamente impareremo a eseguire la divisione tra polinomi e, quando questa non è esatta, a operare con le frazioni algebriche. Il processo che seguiremo è analogo a quello che ha permesso di affrontare lo studio dei numeri razionali, che esprimono una divisione tra numeri interi, dopo aver imparato a operare con i numeri naturali e interi. KEYWORDS K sscomporre in fattori / to factor DEFINIZIONE Scomporre in fattori un polinomio significa trovare dei polinomi, diversi da 1, che, moltiplicati tra loro, danno come prodotto il polinomio stesso. Un polinomio a coefficienti interi è scomposto in fattori primi, quando i singoli fattori (monomi o polinomi) non sono ulteriormente scomponibili (sono allora detti irriducibili). La scomposizione di un polinomio in fattori primi è unica, a meno del segno. Per esempio, il polinomio 2x4y + 18x2y5 12x3y3 può essere scomposto in fattori nel modo seguente: 2x4y + 18x2y5 12x3y3 = 2x2y(x 3y2)2 Svolgendo i calcoli a destra del segno di uguaglianza, possiamo capire se la scomposizione è corretta confrontando il risultato con il polinomio assegnato. Infatti: 2x2y(x 3y2)2 = 2x2y(x2 6xy2 + 9y4) = 2x4y 12x3y3 + 18x2y5 Mentre è piuttosto semplice calcolare il prodotto tra polinomi, non lo è altrettanto la scomposizione di un polinomio e risalire ai suoi fattori per poterlo riscrivere come moltiplicazione. Infatti, non tutti i polinomi sono scomponibili; non è 14