i matem L eggere di matematica LEGGI IL BRANO Q uattro sono i ragionamenti di Zenone intorno al movimento, i quali mettono di cattivo umore quelli che tentano di risolverli. Il primo intende provare l inesistenza del movimento per il fatto che l oggetto spostato deve giungere alla metà prima che al termine finale: ma questo ragionamento noi l abbiamo demolito nei discorsi precedenti1. Il secondo è il cosiddetto Achille: questo intende provare che il più lento, correndo, non sarà mai sorpassato dal più veloce: infatti necessariamente l inseguitore dovrebbe giungere prima là donde il fuggitivo è balzato in avanti; sicché necessariamente il più lento conserva una certa precedenza. Questo ragionamento è appunto quello della dicotomia, ma ne differisce per il fatto che non divide in due anche la grandezza successivamente assunta. La conclusione di tale ragionamento è che il più lento non viene raggiunto; ma a questa conclusione si arriva mediante lo stesso procedimento fatto nella dicotomia (infatti la conclusione di entrambi i ragionamenti è che non si può giungere al limite, dal momento che la grandezza è divisa in un certo modo: ma nel secondo ragionamento si aggiunge il fatto che neppure l eroe che è stato altamente celebrato come il più veloce, riesce a raggiungere nell inseguimento la cosa più lenta); sicché necessariamente anche la soluzione sarà la medesima. Ma, in realtà, è falso ritenere che ciò che precede non viene raggiunto; ma tuttavia esso viene raggiunto, purché si ammetta che venga percorsa una distanza finita. B Busto in marmo di Aristotele d ((Museo nazionale di palazzo Altemps, Roma) p [Aristotele, La fisica, libro VI (Z), 9, 239 b, trad. di A. Russo, Edizioni Laterza, Bari, 1968] 1 Aristotele fa riferimento a una sua precedente argomentazione in cui nega la possibilità di «percorrere il finito in un tempo infinito , rifiutando così il paradosso della freccia di Zenone. I l secondo paradosso di Zenone riguardante il movimento, quello di Achille e la tartaruga, è probabilmente il più famoso dei suoi quattro paradossi del movimento. Il problema presenta il guerriero greco, noto come «piè veloce Achille , impegnato in una corsa contro la lenta tartaruga. Si supponga che Achille corra a una velocità decupla rispetto a quella della tartaruga (1 metro al secondo contro 0,1 al secondo). Alla tartaruga viene concesso un vantaggio di 100 metri, in una corsa di 1000 metri. Nel momento in cui Achille raggiunge A T0 T1 T2 T3 B il punto T0, da cui è partita la tartaruga, quest ultima si sarà spostata nel punto T1. Rapidamente Achille raggiungerà T1, ma la tartaruga si sarà già mossa in T2, e così via all infinito. Ogni volta che Achille raggiunge un punto in cui si trovava la tartaruga, essa si è già mossa di qualcosa in avanti. Benché la distanza tra i due concorrenti si riduca rapidamente, Achille non potrà mai raggiungere la tartaruga, o almeno così sembrerebbe. [N. Falletta, Il libro dei paradossi, Longanesi, Milano, 1989] In sintesi, il modello descrittivo che Zenone dà del movimento, sia esso quello della freccia o della corsa di Achille e della tartaruga, non è di tipo continuo, come è invece il movimento che avviene nel tempo. I successivi istanti che egli considera, per quanto sempre più vicini l uno all altro, danno una descrizione densa del fluire del tempo e del corrispondente movimento che non esprime però la sua continuità. 117