RELAZIONI E FUNZIONI FISSA I CONCETTI Q Q Q Q L implicazione Se A allora B si indica: A B. Le proposizioni logicamente equivalenti hanno identiche tavole di verità. La contronominale di un implicazione è a essa logicamente equivalente. La doppia implicazione A se e solo se B si indica: A B. Esercizi da pag. 65 c. Condizione necessaria e sufficiente affinché Carlo voti alle elezioni politiche in Italia è che sia maggiorenne. d. Condizione necessaria e sufficiente affinché io legga di notte è che abbia un impianto elettrico funzionante. La proposizione a. non è vera perché il mio banco può essere un rettangolo non quadrato. La proposizione b. è vera. La proposizione c. non è invece vera perché per votare alle elezioni politiche in Italia è necessario essere maggiorenne, ma non basta: occorre essere cittadini italiani e non essere stati interdetti al voto per qualche motivo. Anche la proposizione d. non è vera perché certamente un impianto elettrico funzionante è sufficiente per leggere; non è però necessario: basta, come è stato per molti secoli, una candela. 4 Le relazioni 4.1 Le relazioni e i grafi Un predicato definisce una relazione in un insieme se sono verificate le seguenti due condizioni: Q il predicato ha due argomenti; Q i due argomenti appartengono allo stesso insieme. Per esempio, il predicato «essere maggiore definisce una relazione nell insieme dei numeri interi positivi, indicata con il simbolo >. Se scriviamo 7 > 5, i numeri 7 e 5 sono i suoi argomenti. esempio O Individua il predicato e gli argomenti delle seguenti proposizioni e stabilisci quali definiscono una relazione nell insieme indicato. a. Insieme delle figure piane: «La figura A ha la stessa area della figura B . b. Insieme dei punti del piano: «A, B, C sono vertici di un triangolo . c. Insieme delle persone della tua città: «Alba è figlia di Bianca . a. Nell insieme delle figure piane è definita la relazione «avere la stessa area . b. Il predicato «essere vertici di un triangolo si riferisce a tre argomenti e non definisce una relazione nell insieme dei punti del piano. c. Nell insieme delle persone della tua città è definita la relazione «essere figlio . Definita una relazione in un insieme, essa è vera per alcune coppie di elementi, falsa per altre. Consideriamo, per esempio, il seguente sottoinsieme A, dell insieme dei numeri naturali, costituito dai primi 10 numeri: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Il prodotto cartesiano di A con sé stesso è: A A = {(0 ; 0), (0 ; 1), , (9 ; 8), (9 ; 9)} 22