Il Maraschini-Palma - volume 1

1 Insiemi, proposizioni e relazioni La proposizione B A è detta inversa dell implicazione A B. DEFINIZIONE La proposizione inversa dell implicazione A B è la proposizione: B A Se A B è vera, non è detto che lo sia B A. Una implicazione e la sua inversa non sono logicamente equivalenti. In sintesi, da un punto di vista logico, abbiamo: equivalente a nonB nonA A B B A non equivalente a nonA non B ATTENZIONE! A L i L inversa dell implicazione A B non è la sua negazione. Quando A e B sono entrambe vere o false l implicazione e la sua inversa hanno gli stessi valori di verità; negli altri casi li hanno opposti. Consideriamo la congiunzione di un implicazione e della sua inversa: (A B) e (B A) Costruiamo la sua tavola di verità: A B A B B A (A B) e (B A) V V V V V V F F V F F V V F F F F V V V La proposizione ottenuta è vera quando le due proposizioni A e B sono entrambe vere o entrambe false. A partire dall implicazione e dalla congiunzione introduciamo allora un nuovo connettivo logico, detto doppia implicazione. Esso si indica con una doppia freccia , che si legge se e solo se: A B significa (A B) e (B A) KEYWORDS K sse e solo se / if and only if La doppia implicazione A B è vera quando A e B sono entrambe vere oppure entrambe false (tavola di verità a lato). A B A B V V V Se due proposizioni A e B sono legate da una doppia implicazione, allora la verità dell una è condizione necessaria e anche sufficiente per stabilire la verità dell altra: condizione necessaria e sufficiente per A è B Questo modo di esprimere la doppia implicazione è molto frequente nel linguaggio matematico. V F F F V F F F V esempio O Indica quali delle seguenti proposizioni espresse con una doppia implicazione sono vere. a. Condizione necessaria e sufficiente affinché il mio banco sia quadrato è che abbia gli angoli della stessa ampiezza. b. Condizione necessaria e sufficiente affinché i due numeri 3741 e 5975 siano primi tra loro è che non abbiano divisori comuni diversi da 1. 21

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CAPITOLI DEMO: Insiemi, proposizioni e relazioni; Trasformazioni geometriche nel piano.