2 Insiemi numerici e operazioni elementari ESERCIZI Stabilisci se i seguenti numeri sono razionali o irrazionali. esercizio svolto Un numero che ha come parte intera 2 e la cui k-esima cifra decimale, qualunque sia k N0, è k mod 3. La prima cifra decimale (k = 1) è 1 mod 3 = 1 La seconda cifra decimale (k = 2) è 2 mod 3 = 2 La terza cifra decimale (k = 3) è 3 mod 3 = 0 La quarta cifra decimale (k = 4) è 4 mod 3 = 1 Poiché k mod 3 dà i successivi resti della divisione per 3 e questi, nell ordine, sono 0, 1, 2, il numero indicato 120. Essendo decimale periodico, è un numero razionale. è 2,¯ 489 Un numero che ha 0 come parte intera e la cui 492 Un numero che ha come parte intera 1 e la cui 490 Un numero la cui parte intera è uguale a 3 e la cui 493 Un numero che ha come parte intera 1 e la cui k-esima cifra decimale, qualunque sia k N0, è: Q 0 se k è pari; Q 1 se k è dispari. [0,¯ 10, razionale] k-esima cifra decimale, qualunque sia k N0, è: a. 0 se k è divisibile per 5; b. 1 altrimenti. [1,¯ 11110, razionale] k-esima cifra decimale, qualunque sia k N0, è: a. 2 se k è divisibile per 3; b. 1 altrimenti. [1,¯ 112, razionale] parte decimale è identica a quella del numero 3 _ _ 2. [3,12132 , irrazionale] 2 491 Un numero che ha come parte intera 1 e la cui k-esima cifra decimale, qualunque sia k N0, è: a. 1 se k è un numero primo; b. 3 se k non è un numero primo. 494 Un numero che ha come parte intera 1 e la cui k-esima cifra decimale, qualunque sia k N0, è: a. k mod 10 se k è pari; b. 2k mod 10 se k è dispari. [1, 2264064880, razionale] [1,31131 , irrazionale] Stabilisci se i risultati delle seguenti operazioni sono razionali o irrazionali. _ __ 1 495 3 _ 2 ( 5)2 [1,39871 , irrazionale; 9,8696 , irrazionale; 5, razionale] _3 ___ ___ _ 54 24 496 2 [4,4428 , irrazionale; 1,5, razionale; 36, razionale] 2 Verifica con opportuni esempi le seguenti proprietà. esercizio svolto Il prodotto di due numeri irrazionali può essere o un numero razionale o un numero irrazionale. sufficiente trovare due esempi. __ __ ___ 5 e 3, il loro prodotto, 15, è____ ancora un Se consideriamo i due numeri irrazionali ___numero irrazionale. __ ___ __ ___ Se consideriamo 2 e 98, il cui prodotto 2 98 dà come risultato 196 = 142 = 14, otteniamo invece un numero intero, che è razionale. 497 Il prodotto di due numeri razionali è sempre un numero razionale. __ __ ____ 498 Se a e b sono due numeri reali non negativi si ha a b = a b. (Utilizza le proprietà delle potenze). __ __ _____ 499 Se a e b sono numeri reali non negativi si ha a + b a + b. 500 Elabora degli esempi per dimostrare che le seguenti affermazioni sono false: a. il quoziente di due numeri irrazionali è un numero irrazionale; b. la potenza di un numero irrazionale è un numero irrazionale; c. la somma di due numeri irrazionali è un numero irrazionale. _ 1__ [Per esempio: a. 2 e ____ sono irrazionali, 2 _ _ _ 1_ ma 2 : _ = 2 2 = 2 è razionale] 2 135