2 Insiemi numerici e operazioni elementari 8.2 Ordine di esecuzione delle operazioni e ruolo delle parentesi Quando si devono eseguire più operazioni all interno di una stessa espressione non bisogna procedere da sinistra verso destra così come facciamo nell usuale lettura di una frase, ma occorre rispettare le priorità che alcune operazioni hanno rispetto ad altre. Sai già, per esempio che se devi eseguire una semplice espressione quale 3 + 4 5, devi eseguire prima la moltiplicazione tra 4 e 5 e poi addizionare 3. Vediamo allora come comportarci se ci sono tutte le operazioni elementari. Inoltre, nelle espressioni possono esserci anche delle parentesi che rappresentano i segni di punteggiatura in una espressione matematica. Servono per indicare come leggerla ed eseguirla. Procediamo distinguendo i vari casi possibili. 1. Se l espressione non contiene parentesi può accadere che: a. l espressione contenga solo addizioni o solo moltiplicazioni; in tal caso, grazie alla proprietà associativa, possiamo procedere in qualsiasi ordine; b. l espressione contenga solo sottrazioni oppure solo divisioni oppure solo addizioni e sottrazioni oppure solo moltiplicazioni e divisioni; in questo caso si eseguono le operazioni nell ordine in cui sono scritte; c. se non ci si trova nelle situazioni di cui ai punti precedenti allora si eseguono prima le potenze (che considereremo nella prossima unità), poi le moltiplicazioni e le divisioni e per finire le addizioni e le sottrazioni sempre nell ordine in cui sono scritte. Elevamento a potenza prima di Moltiplicazione e divisione prima di Addizione e sottrazione 2. Se l espressione contiene parentesi queste determinano un preciso ordine: ciò che è scritto all interno di una coppia di parentesi ha la priorità su qualunque operazione o su coppie di parentesi più esterne. Naturalmente tutti i passaggi devono essere svolti rispettando le precedenze elencate al punto 1. comune fare uso di parentesi tonde, quadre e graffe per sottolineare l ordine di esecuzione delle operazioni. Per esempio, l espressione 2 {3 + 4 [(5 + 6)2]}, in virtù della presenza di parentesi, va calcolata nel seguente ordine: 5 + 6 = 11 112 = 121 121 4 = 484 484 + 3 = 487 487 2 = 974 La diversa forma delle parentesi, però, è soltanto un ausilio visivo per stabilire quale sia la corrispondente parentesi chiusa di una aperta. Da un punto di vista logico e negli strumenti di calcolo in generale, la forma delle parentesi non ha alcun significato e importano soltanto i loro livelli di incapsulamento. Così, se si volesse far eseguire l espressione precedente da una calcolatrice scientifica o utilizzando il foglio elettronico, occorrerebbe scrivere: 2 (3 + 4 ((5 + 6)2)) Il livello di calcolo più interno (5 + 6) è quello da eseguire per primo. FISSA I CONCETTI Per le espressioni si segue una regola di lettura e di calcolo che non procede da sinistra verso destra. Il calcolo di una espressione procede infatti dall interno all esterno: Q le operazioni dentro le parentesi più interne hanno precedenza rispetto alle altre; Q in una stessa parentesi, si hanno delle precedenze tra le operazioni; si esegue l elevazione a potenza prima di moltiplicazione e divisione prima di addizione e sottrazione. 105