ARITMETICA E ALGEBRA Esercizi da pag. 143 8 Le proprietà per il calcolo 8.1 Riepilogo delle proprietà Riepiloghiamo le principali proprietà delle operazioni esaminate nei precedenti paragrafi: Q la proprietà commutativa (che indichiamo con COMM); Q la proprietà associativa (che indichiamo con ASS); Q l esistenza dell elemento neutro (che indichiamo con EN); Q l esistenza dell inverso di ogni elemento (che indichiamo con INV); Q la proprietà distributiva (che indichiamo con DIST). Gli insiemi numerici che abbiamo considerato sono gli insiemi infiniti N, Z, Q, R; in essi abbiamo definito le operazioni di addizione e di moltiplicazione. Sintetizziamo le proprietà per ciascuno di essi nella tabella 2.2. Per non dover utilizzare numeri diversi a seconda dell insieme in cui operiamo utilizziamo delle lettere facendo attenzione, però, di specificare in quale insieme si trova il numero rappresentato da quella lettera. Addizione Vale in ? Moltiplicazione Vale in ? Esempi N Z Q R Esempi N Z Q R Proprietà a+b=b+a sì sì sì sì a b = b a sì sì sì sì (a + b) + c = a + (b + c) sì sì sì sì (a b) c = a (b c) sì sì sì sì EN a+0=a sì sì sì sì a 1 = a sì sì sì sì INV a + ( a) = 0 no sì sì sì DIST a (b + c) = a b + a c COMM ASS ATTENZIONE! A I passaggi da una scrittura a un altra più semplice sono indicati in dettaglio solo per evidenziare le proprietà che li giustificano. Nella pratica, molti di essi sono sottintesi o eseguiti contemporaneamente: la semplificazione procede così molto più speditamente. Inoltre, la scelta dell ordine di applicazione delle proprietà non è univoca. Nell esempio qui a fianco avremmo anche potuto procedere nel seguente modo: = 3x (2x + 4) 12x = (+3x ( 4)) = 3x (2x + 4 4) = 0 DIST ASS, EN = 3x (2x) = =3 2 x x= = 6x 2 104 COMM ASS per a 0 1 a __ = 1 a no no sì sì sì sì sì sì Tab 2.2 Consideriamo la semplificazione dell espressione seguente, in cui la lettera x rappresenta un qualunque numero reale. A ogni passaggio sono indicate le proprietà dell addizione e della moltiplicazione che lo giustificano: 3x (2x + 4) 12x = DIST = 3x 2x + 3x 4 12x = COMM = 3 2 x x + 3 4 x 12x = ASS = 6 x x + 12x 12x = DIST 6x 2 6x 2 = 6x (x + 2 2) = = 6x (x + (2 2)) = = 6x (x + 0) = = 6x x = = 6x2 ASS INV EN