2 Insiemi numerici e operazioni elementari La definizione di elementi inversi rispetto a una operazione permette di introdurre le operazioni inverse. KEYWORDS K o operazione inversa / inverse operation DEFINIZIONE Eseguire una operazione inversa tra due elementi ordinati a e b significa eseguire l operazione diretta tra a e l inverso di b. L operazione inversa dell addizione è la sottrazione, eseguire la sottrazione: a b equivale a eseguire l addizione tra a e l opposto di b, cioè: a + ( b) L operazione inversa della moltiplicazione è la divisione, eseguire la divisione: a:b FISSA I CONCETTI Q Q equivale a eseguire la moltiplicazione tra a e il reciproco di b, cioè: 1 a __ b Q Due numeri si dicono inversi se il risultato dell operazione * tra di essi è l elemento neutro. Due numeri sono inversi rispetto all addizione se e solo se sono opposti (elemento neutro 0). Due numeri sono inversi rispetto alla moltiplicazione se e solo se sono reciproci (elemento neutro 1). L impossibilità di definire l inverso di 0 rispetto alla moltiplicazione è in accordo con il fatto che non ha significato dividere un numero per 0. L annullatore In ogni insieme numerico fondamentale il numero 0, elemento neutro rispetto all addizione, ha una ulteriore proprietà rispetto alla moltiplicazione: esso assorbe ogni altro elemento, perché ogni numero moltiplicato per 0 dà come risultato 0. Abbiamo, cioè: 0 x = x 0 = 0 qualunque sia x Si dice allora che 0 è l elemento annullatore rispetto alla moltiplicazione. DEFINIZIONE Si dice che a è elemento annullatore di A rispetto all operazione *, in esso definita, se per ogni x A abbiamo: a*x=x*a=a Poiché l insieme numerico più ampio in cui operiamo è R, scriviamo: per ogni x R, 0 x=x 0=0 Analogamente a quanto già osservato per l elemento neutro, se l annullatore esiste, è unico. Da qui si ricava una legge che vale negli insiemi numerici fondamentali N, Z, Q, R. DEFINIZIONE Legge di annullamento del prodotto Il prodotto di due numeri è 0 se e solo se almeno uno dei due è 0: per ogni x, y R, se x y = 0 abbiamo x = 0 o y = 0 e viceversa: per ogni x, y R, se x = 0 o y = 0 abbiamo x y = 0 KEYWORDS K aannullatore / canceller FISSA I CONCETTI Q Q a A è l annullatore rispetto all operazione * se: a * x = x * a = a per ogni x A. Legge di annullamento del prodotto: se x y = 0 abbiamo x = 0 o y = 0 per ogni x, y R; se x = 0 o y = 0 abbiamo x y = 0 per ogni x, y R. ATTENZIONE! A S e solo se significa che Se l affermazione è vera sia in un verso sia nell altro ovvero che l ipotesi e la tesi coincidono dal punto di vista logico. Poiché o indica la disgiunzione non esclusiva, può verificarsi anche il caso che ambedue i numeri siano uguali a 0. 103