La definizione di intorno di un numero

2 Limiti di funzioni reali e il suo grafico è il seguente: y O x Se consideriamo un numero reale a non negativo e riportiamo tale valore sull asse delle ordinate, dal grafico della funzione y = |x| leggiamo che il valore assoluto di un qualsiasi numero reale x è minore o uguale ad a se e solo se x è compreso tra a e +a: x a O a +a Per qualsiasi x R abbiamo che |x| a x a x a. Dunque, quando il valore della funzione è minore o uguale ad a allora, necessariamente, x appartiene all intervallo chiuso [ a ; a]. Consideriamo ora due numeri reali qualunque, a e b; possiamo identificare tre casi: Q a 0; Q a = b: in tale caso | b a | = 0; Q a > b: in tale caso | b a | = a b > 0. Il valore assoluto della differenza di due numeri reali è non negativo ed è nullo solo se i due numeri sono uguali. Esso fornisce la distanza (sulla retta reale) tra i punti che rappresentano i due numeri. Possiamo così affermare che un intervallo (a ; b) ha ampiezza |b a|: b a a b Volendo fissare l attenzione sul valore centrale di un intervallo di determinata ampiezza, introduciamo la seguente definizione. Dati due numeri reali x0 e r > 0, chiamiamo intorno di centro x0 e raggio r il sottoinsieme: I = {x R | x x0 | < r} FISSA I CONCETTI x R |x| a a x a un intervallo (a ; b) ha ampiezza |b a| ATTENZIONE! A La definizione di intorno di un numero DEFINIZIONE KEYWORDS K in intorno di centro x0 e raggio r / neighborhood of center x0 and radius r U intervallo numerico di estremi a Un e b è l insieme di numeri compresi tra a e b. Se gli estremi sono inclusi, l intervallo è chiuso, altrimenti è aperto. Può essere incluso un solo estremo e l intervallo è allora aperto a sinistra e chiuso a destra oppure chiuso a sinistra e aperto a destra. Nella scrittura formale di un intervallo la parentesi quadra indica la chiusura, quella tonda l apertura: [a ; b) indica un intervallo di estremi a e b chiuso a sinistra e aperto a destra. 99

Il Maraschini-Palma - volume 5
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