1 - Il calcolo infinitesimale

RELAZIONI E FUNZIONI Esercizi da pag. 136 1 Il calcolo infinitesimale Andando a scuola con un mezzo pubblico o con il proprio motorino, ci si abitua quasi automaticamente a considerare il tempo impiegato a seconda degli orari e del conseguente traffico; ben diversa è la velocità del mezzo nelle prime ore della mattina o quando si entra più tardi. Lo spazio da percorrere è sempre lo stesso, ma il tempo impiegato aumenta o diminuisce perché la velocità con cui si procede è diversa. La velocità è intuitivamente definita come il rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato a percorrerlo. Se la indichiamo con v e indichiamo con t ed s le altre due grandezze che interessano (il tempo impiegato e lo spazio percorso), possiamo scrivere: s v=_ t Questo rapporto, però, indica la velocità media che è stata tenuta per percorrere lo spazio considerato in quell intervallo di tempo. Ma, come è ovvio, è difficile procedere a velocità sempre costante: a volte si accelera e altre volte si rallenta e il tachimetro del mezzo utilizzato ci indica istante per istante queste variazioni di velocità nell intervallo di tempo considerato. Come è possibile definire la velocità in un determinato istante? Dal punto di vista operativo si potrebbero considerare intervalli di tempo sempre più piccoli e, corrispondentemente, lo spazio percorso in ciascuno di essi, e calcolare la velocità media in questi intervalli. Più sono piccoli tali intervalli, maggiore è l accuratezza della nostra approssimazione della velocità istantanea. In termini intuitivi potremmo, quindi, dire che per calcolare la velocità a un dato istante indicato con t0 possiamo considerare intervalli di tempo con un estremo in t0 sempre più piccoli e in ciascuno di essi calcolare la velocità media. Avremo una successione di valori che tendono a darci il valore della velocità all istante t0. Generalizzando, possiamo intuitivamente dire che la velocità istantanea è il valore a cui tende il rapporto tra spazio e tempo al tendere a zero dell intervallo di tempo considerato. La velocità, in un dato istante viene perciò definita come un rapporto tra due quantità tendenti a zero o, per usare le parole di Isaac Newton (1643-1727), come l «ultimo rapporto di quantità evanescenti . Lo stesso Newton così prosegue: «Si può obiettare che l ultimo rapporto di due quantità evanescenti non è nullo, perché prima che esse svaniscano il loro rapporto non è l ultimo, e allorché sono svanite non ne hanno più alcuno. Ma è facile rispondere: [...] l ultimo rapporto delle quantità evanescenti deve essere inteso come il rapporto fra dette quantità non prima che siano svanite, e nemmeno dopo, ma nell istante stesso in cui svaniscono . La spiegazione di Isaac Newton evidenzia la difficoltà del tentativo di fissare l attimo fuggente in cui le quantità svaniscono. Infatti, sembrerebbero possibili solo tre situazioni, tutte e tre insoddisfacenti: s Q _ è un rapporto tra quantità finite (e allora non possiamo parlare di velocità in t un determinato istante, ma di velocità media, sia pure in un intervallo di tempo molto piccolo); Q s e t sono ormai uguali a zero (ma allora non possiamo neppure parlare di rapporto, essendo il denominatore t uguale a 0); 94

Il Maraschini-Palma - volume 5
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