Il Maraschini-Palma - volume 5

i matem L eggere di matematica In questa ricerca di oggettività e non contraddittorietà che caratterizza il formalismo simbolico degli anni di discussione sui fondamenti della matematica, spiccano i contributi di alcuni protagonisti. Tra questi, due grandi logici: Gottlob Frege (1848-1925) e David Hilbert (1862-1943), il primo maggiormente dedito agli studi sulla sistemazione dell aritmetica, il secondo della geometria. Entrambi seguendo un approccio logico simbolico, seppure con diverso ricorso alle formalizzazioni. Nel seguito riportiamo ciò che il logico tedesco Frege, scrive al collega Hilbert, anch egli tedesco, in una nota lettera. Hilbert, uno dei massimi ricercatori dei fondamenti della matematica, si era evidentemente lamentato del simbolismo utilizzato da Frege, ritenendolo come altri contemporanei eccessivamente pesante, prolisso, inutilmente rigoroso e tale da togliere alla matematica il suo fascino creativo. In effetti, i saggi di Frege, caddero, proprio per questa critica, nell indifferenza dei ricercatori contemporanei al punto tale da indurre Frege a non scrivere più di matematica e filosofia per alcuni anni. Leggiamo, quindi, insieme la lettera di Frege a Hilbert per difendere il proprio metodo (a pagina seguente). I protagonisti della matematica Gottlob Frege filosofo e matematico tedesco (1848-1925); ha insegnato lungamente a Jena; erano gli anni in cui scienziati illustri come K. Weierstrass, J. W. R. Dedekind, G. Cantor davano grande impulso alle ricerche sui fondamenti della matematica. La posizione di Frege è un rigoroso logicismo: egli sostiene infatti (e a lui s ispirò, tra gli altri, B. Russell) che i concetti matematici fondamentali debbono essere esprimibili mediante concetti logici; vi sono cioè certi tipi di proposizioni e di operazioni inferenziali, quelle puramente logiche , che sono privilegiate rispetto alle proposizioni delle teorie per così dire applicate , in particolare dell aritmetica; queste ultime teorie si considerano basate su premesse sicure solo se sono riconducibili alla logica pura. Tale atteggiamento ha portato Frege a una serrata polemica con i formalisti. A Frege si deve inoltre la distinzione tra il senso e la denotazione di un espressione linguistica (nome, predicato, enunciato), distinzione che è stata al centro della logica filosofica e della filosofia del linguaggio del Novecento. Tra i suoi scritti: Begriffsschrift (Scrittura per concetti), 1879; trad. it. 1965), in cui viene costruito per la prima volta un calcolo degli enunciati e dei predicati e viene elaborato un opportuno linguaggio simbolico destinato a sostituire, in una formulazione veramente rigorosa, l ambiguo e impreciso linguaggio comune; Die Grundlagen der Arithmetik (Le basi dell'aritmetica, 1884; trad. it. 1965), in cui si tenta di definire il concetto di numero naturale; Grundgesetze der Arithmetik (2 voll., Leggi fondamentali dell'aritmetica, 1893, 1903), l opera principale, in cui le ricerche precedenti vengono riprese e ampliate. I protagonisti della matematica David Hilbert (1862-1943) matematico tedesco. stata la figura più notevole della matematica della prima metà del Novecento e forse dell intero secolo. Una conferma della universalità di interessi di Hilbert è data dal celebre elenco di 23 problemi fondamentali, su tutto l arco della materia, da lui presentati al Congresso di matematica di Parigi del 1900, il cui studio e ricerca delle soluzioni hanno scandito tanta parte della matematica del Novecento. Importante l attività di Hilbert nel campo dei fondamenti della matematica. L interesse è iniziato con i Grundlagen der Geometrie (Fondamenti di Geometria, 1899), una riorganizzazione della geometria euclidea che ha assunto i concetti primitivi euclidei di punto, retta e piano, e le relazioni primitive essere fra , la congruenza e il parallelismo come punto di partenza, senza però attribuire loro alcun significato intuitivo ma solo quello che emerge dai collegamenti reciproci espressi negli assiomi. Privi di contenuto intuitivo gli assiomi non sono più «veri : devono solo essere non contraddittori e allora si applicheranno a infiniti sistemi di enti. Hilbert ha proposto perciò di trasformare le teorie in sistemi puramente formali di segni e di assumere come sicure solo le manipolazioni di tali segni svolte secondo regole finitarie fissate. Dimostrare che una teoria è coerente vorrà dire dimostrare l impossibilità di derivare al suo interno una sequenza di segni e la sua negazione formale. Si potrà, interlocutoriamente, riportare la coerenza di una teoria a quella di un altra, ma in questo processo di rinvio sarà necessaria almeno una dimostrazione di coerenza assoluta per una teoria specifica: l aritmetica a cui, per gradi successivi, ci si può ridurre. Dopo una notevole mole di lavoro tecnico in questa direzione, i risultati di Kurt G del (vedi oltre) hanno dimostrato sostanzialmente l impossibilità del sogno hilbertiano. Le sue opere fino al 1935 sono state raccolte in 3 volumi: Gesammelte Abhandlungen (Documenti raccolti, 1932-35). 63

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