Il Maraschini-Palma - volume 5

RELAZIONI E FUNZIONI Questa differenza ha una ulteriore corrispondenza sul piano grafico: il grafico di A volge la concavità verso il basso, mentre quello di B volge la concavità verso l alto. La concavità verso l alto del grafico indica che il tasso di incremento è positivo e sta aumentando, mentre la concavità verso il basso indica che è positivo, ma sta diminuendo: è meno preoccupante in questo caso la diffusione del contagio. Il grafico nel Paese C è decrescente e così ci dice che il tasso di incremento è negativo; ma qualche preoccupazione sorge ugualmente, perché se nel corso delle settimane la sua negatività, che era ben veloce, ha rallentato, nell ultima settimana l andamento grafico mostra che la diminuzione dei contagi sembra essersi fermata e rischia di volgere verso un lieve aumento. Le due situazioni problematiche precedenti il rapporto tra le età di due ragazzi e l andamento del contagio da virus in Paesi diversi mostrano come sia importante stabilire una relazione stretta tra tre elementi: I. il fenomeno che vogliamo esaminare; II. la sua formalizzazione come funzione di una variabile. Salvo altre precisazioni si tratta di una funzione reale di una variabile reale, in cui è possibile dare alla variabile indipendente valori reali, eventualmente appartenenti a un particolare sottoinsieme di R, e ricavare i valori della variabile dipendente che appartengono anch essi a un sottoinsieme di R, eventualmente coincidente con l intero insieme dei reali; III. il grafico della funzione che è crescente o decrescente a seconda che il tasso di incremento dei valori della funzione sia positivo o negativo; inoltre la sua concavità dà informazioni sulla velocità del suo variare. Sono valutazioni complessive che permettono di capire come evolve una situazione, come varia un fenomeno e aiutano a farsi un idea di quali caratteristiche dovremo ritrovare quando ne faremo una analisi più precisa, calcolando alcuni valori particolari, le intersezioni del grafico con gli assi, i punti in cui il fenomeno e, quindi, il suo grafico ha delle variazioni caratteristiche. Ciò che interessa, infatti, quando si rappresenta una situazione problematica con una funzione, è innanzitutto vedere la funzione nella sua globalità. Cercare cioè di cogliere il suo andamento: quando il fenomeno che essa rappresenta cresce, quando decresce; se la concavità del suo grafico è verso l alto o il basso; quali valori tende ad assumere nei casi in cui la variabile indipendente, generalmente indicata con x, tende a diventare infinita o quando assume un valore vicino a un altro escluso dall insieme di definizione. Prenderemo, quindi, in considerazione alcune caratteristiche elementari delle funzioni, utili per disegnarne una prima bozza di grafico: l insieme di definizione della funzione; le intersezioni tra il suo grafico e gli assi cartesiani; in corrispondenza di quali valori della variabile indipendente, la variabile dipendente risulta positiva o negativa; se l andamento del grafico presenta asintoti verticali e orizzontali della funzione; eventuali simmetrie del grafico della funzione, rispetto a un punto o rispetto a un asse parallelo all asse delle ordinate; l esistenza di qualche punto particolare in cui la funzione non è continua, pur essendolo in tutti gli altri punti del suo insieme di definizione. 6

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