Il Maraschini-Palma - volume 5

Volume 5 T Teorema (derivata della tangente) La funzione y = tanx è derivabile in tutto il suo insieme di definizione. La sua derivata è la funzione y = 1 + tan2x. U5, par. 4 T Teorema (potenza a esponente intero) La funzione y = xk, per ogni k Z, è derivabile in R0. La sua derivata è la funzione y = kxk 1. U5, par. 4 T Teorema (derivata della funzione logaritmica) La funzione y = lnx è derivabile nel suo insieme di definizione R+ e la sua derivata è la funzione 1 y = __. x U5, par. 4 T Teorema (derivazione composta) Se u = f(x) è una funzione derivabile in x0 e y = g(u) è una funzione derivabile in u0 = f(x0), allora, indicata con c(x) la funzione composta g(f(x)), abbiamo: c (x0) = g (u0) f (x0) U5, par. 5 T Teorema (derivata di una potenza a esponente reale) Dato un qualunque numero k R, la funzione y = xk (con x > 0) è derivabile e la sua funzione derivata è y = kxk 1. U5, par. 5 T Teorema (dei punti stazionari) Se una funzione f ha un massimo (o un minimo) relativo in corrispondenza di un punto x0 interno al suo insieme di definizione e per x = x0 la funzione è derivabile, allora f (x0) = 0. U6, par. 2 T Teorema (concavità del grafico di una funzione) Data la funzione y = f(x), derivabile almeno due volte in tutti i punti di un intervallo (a ; b), abbiamo: x (a ; b), f (x) 0 il grafico della funzione in (a ; b) rivolge la concavità verso l alto; x (a ; b), f (x) 0 il grafico della funzione in (a ; b) rivolge la concavità verso il basso. U6, par. 2 T Teorema (derivate successive) Se una funzione y = f(x) è derivabile n volte in un intorno di x0 e risulta: f (x0) = 0, f (x0) = 0, f (n 1)(x0) = 0 ma f (n) 0 allora: se n è dispari, in corrispondenza di x0 il grafico della funzione ha un punto di flesso; se n è pari, in corrispondenza di x0 il grafico della funzione ha un punto di massimo o di minimo (relativo). In particolare: n pari e f (n) > 0 in corrispondenza di x0 vi è un punto di minimo relativo; n pari e f (n) < 0 in corrispondenza di x0 vi è un punto di massimo relativo. U6, par. 2 T Teorema (linearità dell integrale) Se y = f(x) e y = g(x) sono due funzioni reali e a e b due qualsiasi numeri reali: U7, par. 1 (a f(x) + b g(x)) dx = a f(x)dx + b g(x) dx T Teorema (additività dell integrale) Se c [a ; b], allora: b c a a c Teorema (monotonia dell integrale) Se due funzioni continue f e g sono tali che f(x) g(x) per ogni x [a ; b], allora: b a 512 b f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx T U7, par. 2 b f(x) dx g(x) dx a U7, par. 2

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