Il Maraschini-Palma - volume 5

Volume 5 T Teorema (confronto) Se y = f(x), y = g(x) e y = h(x) sono tre funzioni definite nello stesso intorno Ka di a (eccettuato al più a) e se per ogni x Ka (con x a) risulta: f(x) h(x) g(x) e se è inoltre: lim f(x) = lim g(x) = l x a U2, par. 6 x a allora risulta anche: lim h(x)= l x a T T senx Teorema (limite notevole _____ ) x senx Esiste il limite per x tendente a 0 della funzione y = _____ ed è 1: x senx lim _____ = 1 x 0 x 1 cosx Teorema (limite notevole _________) x 1 cosx Esiste il limite per x tendente a 0 della funzione y = ________ ed è 0: x 1 cosx _______ lim =0 x 0 x U2, par. 6 U2, par. 6 T Teorema (operazioni con le funzioni continue) Se y = f(x) e y = g(x) sono due funzioni continue nel punto a, allora: la funzione somma y = f(x) + g(x) è continua nel punto a; la funzione prodotto y = f(x) g(x) è continua nel punto a; la funzione opposta y = f(x) (simmetrica rispetto all asse x) è continua nel punto a; f(x) la funzione quoziente y = _ (se a non è uno zero per la funzione g) è continua nel punto a; g(x) la funzione valore assoluto y = | f(x) | è continua nel punto a. U3, par. 1 T Teorema (continuità in un punto) Una funzione è continua nel punto a se e solo se: lim (f(a + x) f(a)) = 0 U3, par. 1 T Teorema (permanenza del segno) Se y = f(x) è una funzione continua in un punto a e f(a) 0, allora esiste un intorno di centro a in cui la funzione (se definita) ha lo stesso segno di f(a). U3, par. 2 T Teorema (esistenza degli zeri) Se y = f(x) è una funzione continua in un intervallo chiuso [a ; b] e se f(a) e f(b) hanno segno opposto, allora esiste almeno un numero reale x0 (a ; b) tale che f(x0) = 0. U3, par. 2 T Teorema (di Bolzano) Se y = f(x) è una funzione definita e continua in un intervallo I e se x1 e x2 sono due punti qualsiasi appartenenti a I (con x1 < x2), allora essa, al variare di x in (x1 ; x2), assume tutti i valori compresi tra f(x1) e f(x2). U3, par. 2 T Teorema (funzione continua in un intervallo chiuso) Una funzione continua in un intervallo chiuso è limitata. U3, par. 2 T Teorema (di Weierstrass) Se y = f(x) è una funzione continua definita in un intervallo chiuso I, allora essa ha un minimo e un massimo. U3, par. 2 T Teorema (limite della funzione composta) Date due funzioni reali f e g, se esiste finito: U3, par. 3 x 0 lim f(x) = l x a e se g è una funzione continua in l, allora: lim g(f(x)) = g(lim f(x)) = g(l) x a 510 x a

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