Il Maraschini-Palma - volume 5

8 Distribuzioni di probabilità ESERCIZI Sostituendo, si ha: | | S200 0,23 0,36 0,04 1 ___________2 = 0,281 p ____ ( 200 ) 200 (0,04) Dalla disequazione con valore assoluto, inoltre, otteniamo: S200 0,36 0,04 da cui: 64 S200 80 0,04 ____ 200 Dunque ci si aspetta che il numero di palline bianche su 200 estrazioni, con una probabilità almeno del 28,1%, vari da 64 a 80 (il valore teorico medio su 200 estrazioni è n = 72, lo scarto tra 72 e i due estremi 64 e 80 è 8, che rappresenta il 4% di 200). 66 Un urna contiene 20 palline di cui 8 rosse e le restanti bianche. Si effettuano 100 estrazioni con reimbussolamento. Stima la probabilità che la frequenza del numero di palline rosse estratte differi1 sca per più di ___ dal valore teorico medio. 10 [parametri: = 0,4 e 2 = 0,24; p 0,24] 67 Una macchina produce pezzi di ricambio per motori e di questi pezzi circa il 4% è difettoso. Stima la probabilità che su 5000 unità il numero di pezzi 5 difettosi differisca per più di ____ dal valore teori100 co medio. [parametri: = 0,04 e 2 = 0,0384; p 0,003072] La percentuale media di concorrenti che superano una determinata prova è del 64%. Stima la probabilità che su 450 concorrenti il numero di coloro che non superano la prova differisca per meno 5 [p 0,04719] di ____ dal valore medio teorico. 100 69 Si lancia per 1200 volte un dado non truccato. Stima la probabilità che il numero di volte in cui esce il 6 differisca per più del 4% dal valore teorico [p 0,07234] medio. 68 70 Si lancia per 500 volte una moneta non truccata. Stima la probabilità che il numero di teste uscite differisca dalla media per meno di 40 oppure 80 [p 0,9219; 0,9805] unità. esercizio svolto Un rivenditore nota che il 10% dei suoi palloncini colorati scoppiano durante l operazione di gonfiaggio. Calcola quanti palloncini deve gonfiare affinché quelli scoppiati differiscano per meno del 5% dal valore medio, considerando un grado di fiducia del 95%. Si applica la disuguaglianza di Bernoulli all evento complementare: S 2 p __n < ¡ 1 ____2 f (n ) n 2 con = 0,1, ¡ = 0,05, = 0,09, f grado di fiducia richiesto, uguale a 0,95, n parametro incognito da valutare. Risolvendo rispetto a n l ultima disuguaglianza si ha: | | 2 n _______2 (1 f) da cui, sostituendo i valori, si ottiene la stima per n: 0,09 n ________________2 = 720 (1 0,95) (0,05) n¡2 2 n¡2 f Il rivenditore deve gonfiare almeno 720 palloncini, di cui il 10% in media, ossia 72, scoppiano; lo scarto dal valore medio è 720 0,05 = 36, pertanto i palloncini rimasti integri dovranno essere in media almeno 720 72 = 648, con una variazione di 36, ossia da 612 a 684. 71 Calcola quanti lanci di una moneta occorre effettuare affinché la frequenza relativa delle teste uscite differisca [3125] per non più del 4% dalla probabilità teorica 0,5, considerando un grado di fiducia del 95%. 487

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