Il Maraschini-Palma - volume 5

i matem L eggere di matematica / > l >l o] nill> }iomi i> `i oL> i kij i `imo > Vhi l> omm> `i}li >n}oli interni di un triangolo è minore di un angolo piatto: essa è uguale a k, in cui k, detto difetto, è un numero non negativo che dipende dalle dimensioni dei lati del triangolo. E, quanto più un triangolo è grande, tanto maggiore è la sua differenza da un normale triangolo euclideo, in cui la somma degli angoli interni è uguale a un angolo piatto. ill o iV> `i oL> i kij] «i Vi¢] l> > }iomi i> non Von >``iVi l> }iomitria euclidea, ma ne costituisce una generalizzazione. Infatti, rispetto alle grandezze piuttosto piccole che in genere misuriamo, il difetto k è talmente piccolo da diventare trascurabile e diventa quindi corretta per la classe di problemi che abitualmente trattiamo l ipotesi euclidea. La geometria euclidea non è più una verità unica e necessaria n`i«in`in imin i `> oL> i kij] n }io >ni vviVi>li n}hi i i] , PQU Bolyai (1802-1860), pubblicò nel 1832, in appendice a un lavoro del padre, un articolo in cui costruiva una «scienza assoluta dello spazio : anch egli rinunciava al postulato dell unicità della parallela e costruiva una geometria al suo interno Voi in i° l o `i ino «i on>li v «i ¢ mol o `i i o `> illo `i oL> i kij] che nel corso degli anni si dedicò ad approfondire e a dare una veste sempre più completa a questa nuova geometria. Il padre di Bolyai, Farkas, era infatti anche amico di -CTN (TKGFTKEJ )CWUU (1777-1855), la più grande autorità matematica del tempo, e a lui per primo Bolyai padre comunicò orgogliosamente le scoperte del figlio. Così Gauss rispose: «Se comincio col dirvi che non posso lodare l opera di vostro figlio, non vi meravigliate perché sarebbe lo stesso che lodare me stesso: i risultati ai quali egli è arrivato coincidono quasi interamente con le mie riflessioni . e ancora « [...] una piacevole sorpresa che mi sia risparmiata questa incombenza, e sono molto felice che sia proprio il figlio di un mio vecchio amico a precedermi in modo così notevole. I protagonisti della matematica in effetti documentata da appunti personali e lettere ad amici la lunga attenzione dedicata all argomento da Gauss, ma egli nulla aveva pubblicato al riguardo per paura di non essere compreso dai contemporanei. Bolyai non reagì nel migliore dei modi alla risposta di Gauss, perché sospettò che Gauss volesse impadronirsi della scoperta e che il padre lo avesse tradito confidando a Gauss stesso il contenuto delle sue ricerche: quando poi nel 1840 oL> i kij « LLliV¢ n> «i > > > > ioni `ill> > }iomi i> Novi princìpi della geometria), Bolyai smise definitivamente di occuparsi dell argomento e perse via via il suo equilibrio mentale. I rapidi cenni alle vicende di Bolyai sono qui dati solo per illustrare come nello stesso periodo, e indipendentemente gli uni dagli altri, in tre nazioni diverse, tre matematici erano arrivati alla stessa conclusione: la geometria di Euclide non aveva quei caratteri di necessità assoluta e di verità universale che fino ad allora le si erano attribuiti. Ciò metteva in crisi il sistema di idee e il quadro filosofico dell epoca, secondo i quali lo spazio euclideo non era soltanto la descrizione del mondo delle idee o del mondo ricavato dall esperienza, ma addirittura, nella concezione della più grande autorità filosofica del 700, Immanuel Kant (1724-1804), qualcosa di connaturato con la mente umana. Così scrive infatti Kant: «Lo spazio è una rappresentazione necessaria a priori, la quale sta a fondamento di tutte le istituzioni esterne. Non si può mai formare la rappresentazione che non vi J nos Bolyai (1802-1860) è stato un matematico ungherese. Ha costruito, indipendentemente da C.F. Gauss e da N.I. Lobacevskij, una geometria non euclidea, che ha chiamato «scienza assoluta dello spazio . I suoi studi sul V postulato di Euclide sono iniziati verso il 1820, sotto la guida del padre Farkas (amico di Gauss). Il manoscritto, terminato nel 1829, è stato pubblicato nel 1832 come appendice all opera paterna, con il titolo Appendix scientiam spatii absolute veram exhibens. 475

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