Il Maraschini-Palma - volume 5

8 Distribuzioni di probabilità esempi O Lanciamo in aria una moneta non truccata e consideriamo la variabile binomiale Xi così definita: Xi = 1, se all i-esimo lancio della moneta esce Testa; Xi = 0, se all i-esimo lancio della moneta esce Croce. Quali sono la distribuzione di probabilità, la media e lo scarto quadratico medio della variabile S1000 = X1 + X2 + + X1000? Qual è la probabilità che esca Testa tra le 500 e le 520 volte? La variabile S1000 esprime quante sono le uscite con testa in 1000 lanci. I lanci sono eventi tra loro indipendenti e perciò Sn è una variabile binomiale 1 1 di parametri n = 1000 e p = __. Infatti ogni variabile Xi ha media = __ e scar2 2 1 to quadratico medio = __. 2 Media e scarto quadratico medio della variabile Sn sono: M(S1000) = np = 500 __ ___ 1 _____ (S1000) = n = __ 1000 = 5 10 2 La variabile S1000 risponde a tutte le condizioni del teorema limite centrale: è infatti la somma delle variabili aleatorie omogenee e indipendenti Xi. La sua variabile standardizzata ha perciò, al tendere di n all infinito, distribuzione normale. Calcoliamo i valori standardizzati corrispondenti agli estremi dell intervallo [500 ; 520]. Per l estremo inferiore abbiamo z = 0, mentre per l altro estremo si ha: 520 _ 500 1,3 z=_ 5 10 ATTENZIONE! A P una variabile binomiale il Per teorema del valore medio e della varianza stabilisce che: media = np varianza = np (1 p) essendo, in questo caso, n = 1000 1 p = __ 2 La varianza è quindi: 1 1 1 1000 __ __ = __ 1000 2 2 4 e lo scarto è la sua radice quadrata. L area sotto la curva normale standardizzata compresa tra 0 e 1,3 dà la probabilità che esca testa tra le 500 e le 520 volte; poiché dalla tavola risulta che * (1,30) 0,4032, possiamo concludere: p(500 S1000 520) 40% O Un dado non truccato viene lanciato 50 volte. Utilizzando la funzione *(x), approssima la probabilità che per 30 volte esca un numero pari. La funzione *(x) fornisce il valore dell area sottesa dalla curva di Gauss tra il valore 0 e il valore x. Possiamo allora stringere il valore richiesto, cioè 30 volte un numero pari, tra i valori 29,5 e 30,5, utilizzando la seguente formula di approssimazione: p(S50 = 30) p(29,5 S50 30,5) Abbiamo: ____ M(S50) = np = 25 (S50) = npq 3,5355 29,5 25 30,5 25 z2 = ________ 1,56 z1 = ________ 1,27 3,54 3,54 p(S50 = 30) p(1,27 z 1,56) = *(1,56) * (1,27) 0,4406 0,3980 = 0,0426 ATTENZIONE! A P ricavare i valori approssimativi Puoi di *(1,56) e *(1,27) dalla tabella a pag. 465. 463

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