Il teorema limite centrale

8 Distribuzioni di probabilità Alla fine di questo paragrafo è riportata la tavola dei valori della funzione *(x) = p(0 z x), che esprime la probabilità che la variabile z assuma un valore compreso tra la media (0) e x, per alcuni valori di x. La singolarità della curva normale consiste proprio nel fatto che la sua forma è strettamente legata a particolari valori dello scarto quadratico medio. Analizziamo alcune sue caratteristiche: la curva ha un solo massimo ed è compresa tutta nel semipiano positivo delle y; l asse delle ascisse è un suo asintoto orizzontale. La curva deve perciò avere due punti in cui cambia di concavità, cioè due flessi. Questi flessi, come è possibile dimostrare, sono in corrispondenza dei valori di z = 1 e z = +1; l area compresa tra 0 e 1 è uguale a circa 0,3415; ciò significa che la probabilità che una variabile casuale X assuma valore entro l intervallo [ ; + ] è di circa il 34,15%. La curva è simmetrica rispetto alla media e perciò la probabilità che una variabile casuale distribuita normalmente assuma valori entro l intervallo [ ; + ] è di circa il 68,3%. In quasi il 70% dei casi una variabile normale si discosta dalla media per meno di 1 sigma; la tangente nei punti di flesso interseca l asse delle ascisse in z = 2 e z = +2 e l area della regione compresa tra questi due valori è il 95,4% dell area totale sottesa dalla curva; l area della curva tra z = 3 e z = +3 è il 99,7% del totale: una percentuale irrilevante di valori si discosta perciò dalla media per più di 3 volte lo scarto quadratico medio. FISSA I CONCETTI La situazione è schematicamente riportata nel seguente grafico: y 3 2 1 ( 3 ) ( 2 ) ( ) 0 ( ) +1 +2 +3 z ( + ) ( + 2 ) ( + 3 ) 68,3% 95,4% 99,7% Variabile standardizzata z: X z = _____ La sua media è 0. Il suo è 1. Funzione di densità di una distribuzione normale standardizzata: 1_ z 2/2 e y=_ 2 Una variabile aleatoria distribuita normalmente: ha probabilità del 68,3% di discostarsi dalla media per meno di un ; ha probabilità del 95,4% di discostarsi dalla media per meno di due ; è quasi impossibile che si discosti dalla media per più di tre . Il teorema limite centrale Il motivo per cui la curva normale si presenta così frequentemente nei fenomeni naturali è chiarito da un teorema di fondamentale importanza nella teoria della probabilità: il teorema limite centrale; esso stabilisce una proprietà al limite di una variabile aleatoria Sn, valida per valori di n molto grandi, cioè per n tendente all infinito. 461

Il Maraschini-Palma - volume 5
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