Il Maraschini-Palma - volume 5

8 Distribuzioni di probabilità esempio O Uno studente ha fatto due test di matematica, a un mese di distanza: nel primo test ha avuto 28 punti su un massimo di 40; nel secondo ha avuto 18 punti su un massimo di 30. Valuta il rendimento dello studente considerando che la media e lo scarto quadratico medio nei due test sono stati rispettivamente 22,86 e 7,33 per il primo e 17,86 e 5,08 per il secondo. Calcoliamo i punteggi standardizzati per ciascuno dei due risultati: 28 22,86 z1 = __________ 0,70 7,33 18 17,86 z2 = __________ 0,03 5,08 ATTENZIONE! A Ri Ricorda che la variabile standardizzata ha media 0 e varianza 1. Da questi valori possiamo vedere che lo studente ha avuto un risultato migliore nel primo test. In questo test, infatti, il suo punteggio è superiore alla media di 0,7 unità sigma, mentre nel secondo test il suo punteggio è praticamente uguale alla media. Riprendendo quanto abbiamo detto circa la curva normale, possiamo così definire una distribuzione normale. DEFINIZIONE Si dice che una variabile aleatoria, una volta standardizzata, ha una distribuzione normale se la sua probabilità è descritta attraverso il grafico della seguente funzione: 1 _ y=_ e 2 2 z ___ 2 ATTENZIONE! A Q Quando consideriamo variabili aleatorie continue possiamo indifferentemente usare le espressioni «distribuzione di probabilità e «densità di probabilità . Prima di esaminare come tale funzione sia utilizzata per il calcolo in probabilità e quale sia il suo uso in statistica, analizziamo nuovamente le caratteristiche principali del suo grafico, che è anche chiamato curva normale o gaussiana: 1 2 y APPROFONDIMENTO A 2 1 1 2 z 1_ Qualunque sia z R, la funzione è definita e y è positivo: infatti ____ è una co 2 stante positiva (circa uguale a 0,40). Inoltre, poiché il numero e è positivo, le sue potenze, qualunque sia l esponente, sono definite in R e sono sempre positive. 1_ Q La curva interseca l asse delle ordinate in 0 ; ____ . Infatti, ponendo z = 0 ( 2 ) 1 _ 0,40. otteniamo y = ____ 2 Q La curva è simmetrica rispetto all asse delle ordinate; infatti, poiché z è elevato a esponente pari, abbiamo: Q f( z) = f(z) Q Sia che z assuma valori positivi molto grandi (z tende a + ), sia che essa assuma valori negativi, ma grandi in valore assoluto (z tende a ), la variabile dipendente y assume valori positivi sempre più piccoli (y tende a 0) e l asse delle ascisse è quindi un suo asintoto. L curva normale è anche chiamata La curva a campana (perché ricorda la sezione di una normale campana), oppure curva di Gauss, e addirittura gaussiana, dal nome di Karl Friedrich Gauss (1777-1855) che, pur essendo la curva già nota, la applicò nel 1809 allo studio degli errori nelle osservazioni astronomiche. Proprio perché gli errori di misurazione si distribuiscono secondo tale curva, essa è pure chiamata curva degli errori. 459

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