Il Maraschini-Palma - volume 5

DATI E PREVISIONI Da un punto di vista astratto, il parametro può assumere qualsiasi valore, ma è comodo identificarlo con la misura della dispersione di una distribuzione, cioè con il suo scarto quadratico medio. Per ogni variabile aleatoria X, di media M(X) = , è possibile effettuare una traslazione di equazione X = X . La variabile X così definita è ancora aleatoria e la sua funzione di distribuzione, o di densità se tale variabile è continua, ha lo stesso andamento di quello della funzione di distribuzione della variabile X: ATTENZIONE! A L variabile aleatoria X = X è La in effetti la variabile «scarto dalla media . Questa variabile ha media 0 poiché, come sappiamo, la media aritmetica degli scarti dalla media è proprio 0. f(x) M(X ) = 0 M(X) = x Della nuova distribuzione così ottenuta è possibile fare uno stiramento, dividendo la variabile X per l unità di misura della sua dispersione, cioè per lo scarto quadratico medio. Tralasciamo qui i non semplici calcoli; ci limitiamo ad affermare che otteniamo così una nuova variabile, solitamente indicata con z, che viene detta variabile standardizzata. Dalla variabile aleatoria X, che ha come valore medio e come scarto quadratico medio , passiamo così alla corrispondente variabile in forma standardizzata che è: X z = _____ La trasformazione operata fa sì che z abbia valore medio uguale a 0, varianza uguale a 1 e, ovviamente, anche scarto quadratico medio uguale a 1. Infatti, per le proprietà di linearità dell operatore media M, abbiamo: X M(X) X M(z) = M _____ = M (__) M __ = _____ __ = __ __ = 0 ( ) ( ) X 2 M((X )2) __ 2 VAR(z) = M(z2) M2(z) = M _____ 0 = __________ = 2=1 2 (( ) ) Standardizzando i valori relativi a uno stesso carattere, ma rilevati in tempi o con modalità diversi, è possibile effettuare confronti tra i singoli esiti di una serie di prove. APPROFONDIMENTO A L procedure di standardizzazione sono frequenti in matematica e sono utilizzate quando interessa Le concentrare l attenzione su particolari aspetti di un fenomeno o di un oggetto. In analogia a quanto fatto per la variabile X, si pensi ai punti di una circonferenza: essa pure è caratterizzata da un indice di posizione centrale (il suo centro) e da un indice di dispersione (il suo raggio). Per molte considerazioni conviene traslare la circonferenza in modo tale che il suo centro coincida con l origine e farne un omotetia in modo tale che il suo raggio sia unitario; si ottiene così una circonferenza standardizzata cioè la circonferenza goniometrica. 458

Il Maraschini-Palma - volume 5
Il Maraschini-Palma - volume 5