Il Maraschini-Palma - volume 5

8 Distribuzioni di probabilità P (x ; y) corrisponde il punto P (2k x ; y); e a una funzione y = f(x) corrisponde la funzione y = f(2k x). Se le due espressioni coincidono vuol dire che il grafico della funzione y = f(x) è simmetrico rispetto alla retta x = k. Quindi, poiché la funzione che esprime la distribuzione normale resta invariata se sostituiamo alla sua variabile X l espressione 2 X, il suo grafico è simmetrico rispetto alla retta di equazione X = . cioè simmetrico rispetto al valore medio della distribuzione. Inoltre, se calcoliamo la derivata di questa funzione operazione in questo caso non semplice e che qui tralasciamo, dando soltanto il risultato e la poniamo uguale a 0, otteniamo un valore che esprime il suo punto stazionario: è un massimo ed esso corrisponde proprio al valore medio: 1 ___ f( ) = _______ 2 Quindi, una curva a forma di campana è simmetrica rispetto al suo valore medio, in corrispondenza del quale ha un massimo. Questa curva rappresenta la funzione di densità di una variabile aleatoria continua. La probabilità che tale variabile assuma un valore appartenente a un dato intervallo, che indichiamo con [x1 ; x2] è uguale all area della regione racchiusa dalla curva dall asse delle ascisse e dalle rette di equazione X = x1 e X = x2, cioè dall integrale definito della funzione normale di estremi, appunto, x1 e x2. f (x) ATTENZIONE! A L L area della superficie in colore rappresenta la probabilità che la variabile aleatoria assuma un valore compreso tra x1 e x2 e può essere scritto come integrale p(x1 X x2) x2 x1 x2 x definito f(X)dX. x1 Proprio perché la curva rappresenta l andamento della funzione di densità di una variabile aleatoria, il valore di tutta l area sottesa a tale curva è uguale a 1. Le variazioni alla forma caratteristica della curva, a parità di valore medio, dipendono essenzialmente dal valore dello scarto quadratico medio. Quanto più è grande lo scarto quadratico medio tanto maggiore è la dispersione; questo fatto, nella rappresentazione di una distribuzione continua, è evidenziato da una maggiore «apertura della campana. 1 < 2 < 3 f (x) ATTENZIONE! A Il modello generale delle funzioni rappresentate è il seguente: 2 x ___ 2 2 y=e 1 2 3 M(X) x 457

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