La curva normale

DATI E PREVISIONI Definiamo la variabile aleatoria Xi = «componente difettoso , che assume valore 1 nel caso il pezzo estratto sia effettivamente difettoso. Questa, per ogni singolo pezzo, è così descritta: 0 1 X=[ 94% 6%] FISSA I CONCETTI Q Q Disuguaglianza di Bienaymé Ceby v: VAR(X) . p(|X | k) ______ k2 Disuguaglianza di Bernoulli: Sn 2 p( __ ) ___2 per n n > 0. | Q | Legge dei grandi numeri (conseguenza della disuguaglianza di Bernoulli): aumentando il numero di prove, aumenta la probabilità che la frequenza si avvicini alla probabilità teorica. M(X) = p = 0,06 VAR(Xi) = pq = 0,94 0,06 = 0,0564 Applicando la disuguaglianza di Bernoulli, con = 0,1, abbiamo: | | | | VAR(Xi) S S p __n 0,06 < 0,1 = 1 p __n 0,06 0,1 1 _______ (n ) (n ) n 2 Confrontiamo ora l ultimo termine della disuguaglianza con il grado di fiducia richiesto, che indichiamo con f: VAR(Xi) 1 _______ f n 2 VAR(Xi) n 2 f n 2 VAR(Xi) 0,0564 n 2 (1 f) VAR(Xi) n _________ = ______________ (1 f) 2 (1 0,95) 0,01 Eseguendo i calcoli, troviamo n 112,8 e, quindi, si devono estrarre al minimo 113 pezzi. Con riferimento ai risultati ottenuti nell esempio precedente, il valore ottenuto per n è piuttosto alto, anche se in realtà non conosciamo la quota totale di produzione. Questo valore di n dipende però dal tasso di difettosità della produzione. Per esempio, utilizzando tassi del 4% o del 2% abbiamo per n i seguenti rispettivi valori, arrotondati per eccesso: 77 e 40. Osserviamo che il numero n dei pezzi da controllare varia anche in funzione del grado di approssimazione richiesto, oltre che, naturalmente, del grado di fiducia che vogliamo avere. My English lesson La curva normale page 466 Riprendiamo alcune osservazioni svolte per l esempio delle classi di altezza della popolazione maschile di un Paese (nel paragrafo 1) considerando classi di ampiezza sempre minore. Per meglio comprendere quanto là detto, facciamo riferimento a un problema teorico, ma di più facile analisi. Costruiamo gli istogrammi relativi alla distribuzione di probabilità della variabile aleatoria X = «numero di uscite con Testa su n lanci di una moneta non truccata . Nelle figure seguenti sono riportati gli istogrammi relativi a valori di n rispettivamente uguale a 5, 10, 15, 20 e 30. 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 454 Probabilità dell uscita di k teste su 5 lanci di una moneta 0 1 2 3 4 5

Il Maraschini-Palma - volume 5
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