Il Maraschini-Palma - volume 5

8 Distribuzioni di probabilità La disuguaglianza stabilisce che: per un numero sempre più grande di prove, cioè per n tendente all infinito, tende a 0 la probabilità che la differenza tra frequenza relativa e il valore teorico della probabilità possa essere maggiore di un qualsiasi numero piccolo da noi scelto. In altri termini, aumentando il numero di prove aumenta la probabilità che la frequenza relativa e la probabilità teorica vengano ad avvicinarsi sempre più. La disuguaglianza di Bernoulli, proprio per questa sua interpretazione viene anche detta legge dei grandi numeri. La legge dei grandi numeri è anche detta legge empirica del caso perché dà un qualche fondamento alla concezione frequentista della probabilità. Essa, tuttavia, non assicura che la frequenza si avvicini con certezza alla probabilità teorica. Leggi La legge dei grandi numeri esempi O Un industria di articoli per neonati vuole programmare la produzione destinata a un Paese in cui nascono in media circa 750 bambini ogni giorno. Assumendo equiprobabile l iscrizione anagrafica di un neonato come maschio e come femmina, calcola la probabilità che la frequenza relativa del numero dei 1 maschi nati differisca dal valore teorico medio per meno di ___. 20 Utilizziamo la disuguaglianza di Bernoulli tenendo presente che la variabile aleatoria Xi = «iscrizione di sesso maschile ha probabilità 0,5 e varianza uguale al prodotto pq. Abbiamo: n = 750 = M(Xi) = 0,5 VAR(Xi) = 0,25 1 = ___ = 0,05 20 Applichiamo la disuguaglianza di Bernoulli: | | | | S750 0,25 0,5 0,05 ___________2 0,133 p ____ ( 750 ) 750 (0,05) Da questa relazione ricaviamo quanto richiesto: S750 0,5 1 0,133 = 0,867 p ____ ( 750 ) La disequazione in valore assoluto è equivalente alla seguente disuguaglianza: S750 0,5 0,05 < ____ < 0,5 + 0,05 750 Cioè: 337,5 < S750 < 412,5 Dunque, ci possiamo aspettare un numero di iscrizioni di maschi compreso tra 338 e 412 con probabilità superiore all 86,7%. O Un componente elettronico ha probabilità del 6% di essere difettoso. Calcola il numero minimo di pezzi da controllare in modo tale che la percentuale di 1 pezzi difettosi differisca per meno di ___ dalla frequenza teorica del 6%, sulla 10 base di un grado di fiducia del 95%. Il grado di fiducia è il valore di probabilità che si ritiene accettabile. Per semplicità possiamo considerare la scelta dei singoli campioni di tipo bernoulliano. 453

Il Maraschini-Palma - volume 5
Il Maraschini-Palma - volume 5