Il Maraschini-Palma - volume 5

DATI E PREVISIONI APPROFONDIMENTO A S consideriamo una variabile Se 1 bernoulliana Sn di parametro p = __, 2 allora il teorema di Bienaymé Ceby v garantisce la validità della seguente disuguaglianza: | | VAR(X) n n p( S n _ _) _ = 2 2 n 2 _ (2) 1 1 n _ _ 2 2 _1 =_ = n n 2 _ (2) Per n che tende all infinito il valore 1 di __ tende a 0. n Questo vuol dire che la probabilità 1 che la variabile Sn, con p = __, 2 differisca dal valore medio per più del valore medio stesso tende a 0 all aumentare del numero delle prove. esempio O Lanciamo per 50 volte in aria una moneta non truccata e registriamo ogni volta l esito del lancio. Consideriamo la variabile Sn = «numero di uscite con Testa nei 50 lanci e, per brevità di scrittura indichiamola semplicemente con S. Considerato il suo valore medio e lo scarto quadratico medio , vogliamo stabilire il valore massimo di probabilità per cui tale variabile cioè il numero di uscite con Testa nell intervallo di centro e raggio doppio di . La probabilità che a noi interessa è: p(|S | 1 __ = 75% 4 Ricordiamo che, per una variabile binomiale, la media è il prodotto del numero di prove per la probabilità uguale di ciascuna di esse. Abbiamo quindi: 1 = np = 50 __ = 25 2 sempre per lo stesso teorema del valore medio e della varianza di una variabile binomiale, sappiamo che VAR(Sn) = npq. Quindi, considerando lo scarto , abbiamo: ____ ___________ 2 = 2 npq = 2 50 0,5 0,5 7,07 Possiamo così dire che con oltre il 75% di probabilità il numero di uscite con Testa su 50 lanci sarà compreso tra: 25 7,07 e 25 + 7,07, cioè tra 18 e 32 Dalla disuguaglianza di Bienaymé-Ceby v ne discende un altra, particolarmente importante per l analisi statistica dei dati che dimostriamo nell'Approfondimento online. TEOREMA DI BERNOULLI (disuguaglianza) Se la variabile aleatoria Sn = X1 + X2 + + Xn, è definita dalla somma di n variabili aleatorie indipendenti, aventi media e varianza costanti si ha: Approfondisci Dimostrazione del teorema (disuguaglianza di Bernoulli) | | S 2 p __n ___2 per > 0 ( n ) n Nella disuguaglianza di Bernoulli indica un numero piccolo da noi scelto vicino a 0. Le variabili X1, X2, , Xn possono essere considerate come prove di un esperimento ripetuto più volte. Osserviamo che, nella disuguaglianza di Bernoulli, la variabile n, numero delle variabili, compare al denominatore di una frazione. Quindi, per n sempre più grande, la frazione tende a 0. 452

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