Il Maraschini-Palma - volume 5

8 Distribuzioni di probabilità Una disuguaglianza aiuta a risolvere questo tipo di problemi. Essa mette in relazione tra loro gli indicatori caratteristici di una distribuzione: media (qui indicata con la lettera greca ) e scarto quadratico medio, o anche varianza. Questa relazione è dovuta al matematico francese Irénée-Jules Bienaymé e al russo Pafnutij L. Ceby v. TEOREMA (disuguaglianza di Bienaymé- eby v) Per ogni variabile aleatoria X vale la seguente relazione: VAR(X) dove = M(X) p(| X | k) _______ k2 La dimostrazione del teorema è negli Approfondimenti online. Essa afferma che la probabilità che una variabile aleatoria di media assuma valori al di fuori dell intervallo [ k; + k] (cioè che il suo valore sia esterno VAR(X) alla striscia in colore nel grafico) non supera il rapporto _______ . k2 y O M(X) k M(x) M(X) + k Approfondisci Distribuzione ipergeometrica Problemi e modelli di distribuzione ATTENZIONE! A P semplicità di scrittura e per Per seguire il simbolismo usuale della letteratura di statistica abbiamo indicato M(X) con la lettera greca . Seguiremo questa convenzione anche nelle pagine che seguono. Approfondisci Dimostrazione del teorema (disuguaglianza di Bienaymé- eby v) x In particolare, per un numero molto grande di prove, se assumiamo k coincidente con lo scarto quadratico medio , il teorema fornisce il valore superiore di probabilità per il quale la variabile aleatoria assume valori fuori dell intervallo [ ; + ] e quindi, per complemento, il valore minimo di probabilità per cui la variabile aleatoria differisce dalla media per più di uno scarto quadratico medio. I protagonisti della matematica Irénée-Jules Bienaymé (1796-1878) è stato uno statistico francese. Studente della cole polytechnique in un periodo di grandi turbolenze politiche, è diventato ispettore generale delle finanze. Dopo i moti del 48 è diventato professore di probabilità alla Sorbona, mantenendo l incarico di esperto statistico sotto il governo di Napoleone III. Ha fondato la Societé mathématique de France, divenendone presidente nel 1875. Si è occupato in modo intensivo di demografia elaborandone i metodi statistici e probabilistici. Ha tradotto in francese le opere di P.L. Ceby v, di cui era amico. Pafnutij L vovic Ceby v (1821-1894) è stato un matematico russo, studente di scienze matematiche all università di Mosca e, dal 1847, ha insegnato all università di San Pietroburgo, dove ha dato vita con numerosi discepoli a una celebre «scuola matematica, stabilendo contatti sia diretti sia epistolari con i maggiori matematici dell epoca. Nel 1850 ha dimostrato una congettura dovuta a Joseph Louis Francois Bertrand (1822-1900) secondo la quale tra ogni numero naturale maggiore di 1 e il suo doppio esiste almeno un numero primo. Ha dato contributi importanti in teoria dei numeri e in calcolo delle probabilità: in una pubblicazione del 1867 utilizzò la disuguaglianza di I.J. Bienaymé per formulare la legge dei grandi numeri in forma generalizzata. 451

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