3 - La legge dei grandi numeri

DATI E PREVISIONI ATTENZIONE! A N modelli dell urna (con Nei reimmissione e no) la seconda estrazione avviene dopo che è stata registrata l informazione relativa alla prima estrazione: si tratta di una probabilità condizionata il cui valore è dato da: p(A e B) = p(A) p(B A) Se un evento B può verificarsi insieme a 2 eventi tra loro incompatibili A1, A2 dobbiamo applicare insieme la formula della probabilità totale e la definizione di probabilità condizionata e abbiamo: p(B) = p(A1) p(B A1) + + p(A2) p(B A2). Q Considerando il modello astratto dell urna, ricordiamo che n estrazioni successive senza reimmissione di una singola pallina sono equivalenti a un estrazione in blocco di n palline. Q FISSA I CONCETTI Q Q Q Q Q Variabile binomiale (in una prova): variabile aleatoria con due soli esiti possibili. Formula di Bernoulli: n p(X = k) = ( ) pkqn k probabilità k di avere k successi su n prove indipendenti. Schema bernoulliano: variabile binomiale in n prove ripetute indipendenti. Variabile binomiale (in n prove): Sn = «numero di successi in n prove indipendenti . Una distribuzione binomiale è caratterizzata da due parametri: n: numero di prove indipendenti p: probabilità di successo in una prova Per una variabile binomiale: M(Sn) = np VAR(Sn) = npq. Esercizi da pag. 486 Formalmente, i parametri del problema sono i seguenti: N: numero di palline nell urna; a: numero di palline bianche inizialmente nell urna (a N); n: numero di estrazioni senza reimmissione; k: numero di palline bianche che vogliamo estrarre (k a). Indichiamo con X la variabile aleatoria «numero di palline bianche estratte . Una situazione _ sperimentale di un urna con 5 palline, di cui 2 bianche (B) e 3 di altro colore (B) potrebbe così essere rappresentata, se le estrazioni fossero esattamente due: 2 5 3 5 B 1 4 B B 3 4 B 2 4 B 2 4 B I parametri precedentemente stabiliti avrebbero, in questo caso, i seguenti valori: N=5 a=2 n=2 Avvalendoci del grafo ad albero calcoliamo la probabilità che, su 2 estrazioni, siano estratte esattamente k palline bianche, senza che importi l ordine con il quale sono estratte. Il simbolo p(X = k) indica la probabilità di esattamente k successi (k palline bianche estratte) in un insieme di n prove stocasticamente dipendenti: _ _ 2 3 3 2 3 p(X = 1) = p(BB o BB) = __ __ + __ __ = __ 5 4 5 4 5 2 1 1 p(X = 2) = p(BB) = __ __ = ___ 5 4 10 La distribuzione di probabilità associata a tale situazione è chiamata distribuzione ipergeometrica (vedi Approfondimento online). 3 La legge dei grandi numeri Nelle situazioni aleatorie caratterizzate da una serie di prove ripetute, occorre trovare talvolta la probabilità che il numero di successi ricada entro un certo intervallo. Nei controlli di qualità, è per esempio importante conoscere la probabilità che il numero di prodotti industriali privi di difetti sia il più vicino possibile al totale dei pezzi prodotti. spesso essenziale che tale probabilità sia molto vicina alla certezza: per esempio, a seconda degli scopi, può essere necessario richiedere che essa sia maggiore o uguale al 95% oppure al 98% o addirittura al 99%. 450

Il Maraschini-Palma - volume 5
Il Maraschini-Palma - volume 5