Altre distribuzioni

8 Distribuzioni di probabilità Possiamo ragionevolmente supporre che, date le caratteristiche di una gara di tiro al piattello, l esito di ciascun tiro sia indipendente dagli esiti dei tiri precedenti. Gli esiti di ciascun tiro sono soltanto due: «piattello colpito oppure «piattello non colpito . Per ogni tiro la variabile aleatoria Xi è così definita: 0 1 Xi = [ 19% 81%] La variabile aleatoria associata alla situazione è perciò di tipo binomiale: p = 0,81 e il numero di tiri è n = 12. Per il numero medio di centri colpiti entro i primi 12 colpi si ha: M(S12) = np = 12 0,81 = 9,72 Il valore non è intero, come invece deve essere il numero di piattelli colpiti; possiamo perciò dire che il numero di piattelli colpiti sui primi dodici colpi è mediamente compreso fra nove e dieci. Altre distribuzioni ATTENZIONE! A S due variabili aleatorie X e Y Se sono indipendenti, allora la media della loro somma è la somma delle loro medie e la varianza è la somma delle varianze: M(X + Y) = M(X) + M(Y) VAR(X + Y) = VAR(X) + VAR(Y) I protagonisti della matematica Oltre alla distribuzione binomiale che studia la probabilità di avere k successi su n prove indipendenti, possono presentarsi altri problemi in cui cambiano le variabili e i parametri di riferimento. In una successione di prove indipendenti il cui esito sia sempre di tipo binomiale, successo o insuccesso, possiamo studiare l attesa di un successo dopo tante volte che si è ripetuto un insuccesso. Questa situazione si presenta nei giochi aleatori, come per i numeri ritardatari al lotto: sappiamo che dadi, monete e palline non hanno memoria e, quindi, in uno schema di prove indipendenti di tipo bernoulliano ogni volta la probabilità che si verifichi un evento atteso rimane costante. Tuttavia, all inizio della successione di prove ci possiamo chiedere quale sia la probabilità di avere un primo successo alla n-esima prova dopo n 1 insuccessi consecutivi. La distribuzione di probabilità che analizza questo caso è detta geometrica (vedi Approfondimento online). Vi sono inoltre fenomeni in cui determinati eventi, con riferimento a un particolare periodo di tempo, accadono raramente: il numero di eventi che si verifica in quel periodo è aleatorio e varia da 0 a un numero n il cui valore non è determinabile a priori. La rarità di un evento è riferibile non soltanto a eventi che si svolgono nel tempo, ma anche a situazioni di tipo spaziale. Per esempio, se immaginiamo di tagliare una torta ai pinoli in n fettine tutte uguali, allora il numero dei pinoli presenti in ciascuna fetta è aleatorio e, quindi, ci saranno fettine con pochi pinoli e fettine con molti pinoli. Se il numero di pinoli in una torta non fosse grande, potrebbero anche esserci fettine senza alcun pinolo. Per fenomeni rari come i precedenti utilizziamo un modello di distribuzione di probabilità (vedi Approfondimento online) elaborato dal matematico e fisico francese Siméon-Denis Poisson. Consideriamo ora l estrazione da un urna di n palline, l una dopo l altra, senza rimettere nell urna la pallina di volta in volta estratta. Supponiamo che non interessi l ordine secondo il quale le palline sono estratte. Vogliamo calcolare la probabilità che esattamente k palline, su n estrazioni non indipendenti, presentino la caratteristica che ci interessa; vogliamo per esempio che le palline estratte siano tutte bianche, in un insieme di diversi colori presenti. Siméon-Denis Poisson (1781-1840) Fisico e matematico francese è stato professore di analisi matematica e di meccanica all cole polytechnique e alla Sorbona. Le sue ricerche si sono sviluppate nei più svariati campi della fisica matematica, principalmente nell elettrostatica e nel magnetismo (delle cui teorie matematiche si può considerare il fondatore), nella dinamica dei solidi, nella meccanica analitica, nel calcolo delle probabilità. Va sotto il suo nome un famoso teorema di applicazione del calcolo infinitesimale alla meccanica. Classici i suoi trattati: Traité de mécanique (1811); Nouvelle théorie de l action capillaire (1831); Théorie mathématique de la chaleur (1835). Approfondisci Distribuzione geometrica e distribuzione di Poisson 449

Il Maraschini-Palma - volume 5
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