Il Maraschini-Palma - volume 5

DATI E PREVISIONI funzione di probabilità Mentre con p > q la distribuzione ha questa caratteristica: 0,26 0,24 0,22 0,2 0,18 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 valori di S14 Se una variabile aleatoria è di tipo binomiale, allora è possibile calcolare facilmente sia il suo valore medio sia la sua varianza. TEOREMA (valore medio e varianza di una variabile binomiale) Data una variabile binomiale Sn, associata a una successione di eventi elementari Xi con p(Xi) = p per ogni i, allora su n prove valgono le seguenti relazioni: M(Sn) = np VAR(Sn) = npq = np(1 p) Dimostrazione La variabile aleatoria Xi ha probabilità costante p e quindi il suo valore medio è p: M(Xi) = p La variabile binomiale Sn è espressa come somma di variabili Xi relative a esperimenti indipendenti l uno dall altro: M(Sn) = M(X1 + + Xn) L operatore media è lineare rispetto a variabili aleatorie indipendenti e, quindi, può essere distribuito su ciascun operando entro la parentesi: M(Sn) = M(X1) + M(X2) + + M(Xn) = np Anche la varianza è lineare rispetto alla somma di variabili aleatorie indipendenti e perciò abbiamo: VAR( X 1 ) + VAR( X 2 ) + . . . + VAR( Xn ) VAR( S n ) = n volte sufficiente ora calcolare la varianza relativa alla singola variabile aleatoria Xi: VAR(Xi) = M(Xi2) (M(Xi))2 = p p2 = p(1 p) = pq Da questa relazione otteniamo la tesi del teorema. c.v.d. esempio O Un tiratore spara al piattello con una precisione che si stima essere dell 81%. Determina il numero medio di centri che egli può aspettarsi dopo i primi dodici colpi. 448

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