Il Maraschini-Palma - volume 5

DATI E PREVISIONI La variabile aleatoria Sn può assumere tutti i valori compresi tra 0 e n, corrispondenti rispettivamente al fatto che l evento atteso E non si sia mai verificato (Xi = 0 per ogni i) oppure si sia sempre verificato (Xi = 1 per ogni i). Poiché dipende da eventi che hanno due soli possibili esiti, tale variabile è chiamata variabile binomiale in n prove. Il valore assunto dalla variabile Sn conta il numero di successi su n prove. La probabilità che Sn assuma un determinato valore è quindi associata al fatto che l evento si verifichi 0 volte, 1 volta, 2 volte, , n volte. La distribuzione di probabilità della variabile Sn è conseguenza diretta della formula di Bernoulli. Sn = 0 1 2 ... n n 0 n n 1 n 1 n 2 n 2 n . . . (n) pn q0] [(0) p q (1) p q (2) p q esempio O In un urna vi sono 4 palline di cui 3 bianche e 1 nera: si estrae ogni volta una pallina e, dopo averne registrato il colore, la si rimette nell urna. Determina la distribuzione di probabilità della variabile binomiale S5 = «numero di palline bianche su 5 estrazioni . Calcola, inoltre, il valore medio e la varianza di tale variabile. Dato che la pallina viene ogni volta rimessa nell urna, ogni prova è indipen3 dente da tutte le altre con probabilità costante p = __ di successo in ogni sin4 gola prova. Abbiamo la seguente variabile aleatoria: 0 1 X i = _1_ _3_ [4 4] i {1, 2, 3, 4, 5} Utilizzando la formula di Bernoulli, otteniamo la seguente distribuzione di probabilità della variabile binomiale S5: S5 = 0 3 2 1 5 _1_ 5 5 _3_ _1_ 4 5 _3_ 2 _1_ 3 5 _3_ 3 _1_ 2 [(0)(4) (1)(4)(4) (2)(4) (4) (3)(4) (4) 5 4 4 5 _3_ _1_ 5 _3_ 5 (4)(4) (4) (5)(4) ] cioè, effettuando i calcoli: S5 [ 3 0 5 1 2 4 0,098% 1,465% 8,789% 26,367% 39,551% 23,730% ] probabilità La distribuzione di probabilità della variabile S5 è rappresentata qui sotto. 446 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 1 2 3 4 numero di palline bianche 5

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