Il Maraschini-Palma - volume 5

DATI E PREVISIONI Definiamo attraverso una tabella la variabile aleatoria V (vincita), scrivendo nella prima riga i valori in punti relativi alle vincite (positivi) e alla perdita (in negativo), e nella seconda riga la probabilità che si verifichi l evento: 12 6 5 V = ___ 1 ___ 3 ___ 6 [ 10 10 10 ] Calcoliamo la media della variabile V: M(V) = 12 0,1 + 6 0,3 5 0,6 = 0 KEYWORDS K sp speranza matematica / mathematical hope Il valore medio di una variabile aleatoria si chiama anche speranza matematica. La speranza matematica, riferita a un gioco, rappresenta l aspettativa probabilistica di vincere o perdere. Tale concetto, riferito a vincite o perdite, permette di dare la seguente definizione di gioco equo. DEFINIZIONE Un gioco si dice equo se la speranza matematica di ciascuno dei giocatori è nulla. ATTENZIONE! A N gioco del lotto, la puntata sul Nel primo estratto viene pagata 25 volte la posta. La probabilità di vincere puntando sul primo estratto è di 1/90 mentre quella di perdere è 89/90. Se il gioco fosse equo, per ogni euro giocato il gestore del gioco, cioè lo Stato, dovrebbe pagare 90 euro, mentre invece ne paga 26. L esempio analizzato dell estrazione della carta con le poste in gioco in caso di vincita o di perdita è un gioco equo. Questa definizione di gioco equo sta a significare che, a lungo andare, in un tale tipo di gioco tutti i giocatori dovrebbero essere in parità. Un esempio di gioco non equo è quello della roulette. Per esempio, puntando sul colore una determinata somma, in caso di vincita si riceve una somma doppia di quella puntata, cioè si vince una somma uguale a quella puntata. Ma la variabile aleatoria «vincita è definita come segue, perché ci sono 18 numeri rossi, 18 neri più lo 0 che non ha colore: 1 V= _ 18 [37 1 19 _ 37 ] 18 19 1 Calcolando la media M(V) = 1 ___ 1 ___ = ___ osserviamo che questa è ne37 37 37 gativa e, quindi, il gioco è vantaggioso per il gestore (cioè il banco). esempio e O Un gioco con i dadi ha queste regole: si lancia un dado e se esce un numero da 1 a 5 si vince 1 punto moltiplicato per il numero uscito. Se invece esce il 6 si perde e si paga la relativa quota in punti. Calcola la quota da versare in caso di perdita affinché il gioco sia equo. FISSA I CONCETTI Q Q Speranza matematica: è sinonimo di «valore medio di una variabile aleatoria . Gioco equo: si ha quando la speranza matematica di ogni giocatore è nulla. 442 Definiamo la seguente variabile aleatoria: 1 2 3 4 5 x V = _1_ _1_ _1_ _1_ _1_ _1_ [6 6 6 6 6 6] Il valore medio di tale variabile deve essere nullo. Tale variabile è inoltre equidistribuita e perciò abbiamo: _1_ (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + x) = 0 x = 15 6 Per partecipare al gioco, nell ipotesi che sia equo, occorre versare 15 punti.

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