Il Maraschini-Palma - volume 5

7 Calcolo delle primitive Consideriamo ora un esempio particolare. Vogliamo determinare l area della regione illimitata compresa 1 tra l asse delle ascisse e il grafico della funzione y = _2 x appartenente al semipiano x 1. y La regione è tutta al di sopra dell asse delle ascisse; nonostante sia illimitata, la sua area non è, come si potrebbe pensare, infinita. 1 Per calcolare tale area, consideriamo un numero reale t > 1 ed effettuiamo il calcolo dell integrale nell intervallo [1 ; t]: t dx 1 _ = _ 2 O x 1 1 _ [ x ]1 = t + 1 x 1 t L area richiesta si ottiene calcolando il limite, per t tendente a + , dell espressione qui sopra. Si può scrivere: + t dx _ = lim 2 x 1 KEYWORDS K dx 1 _ = lim _ + 1 = 1 t + ( t + x2 1 ) t in integrale improprio / improper integral La regione è quindi equivalente a un quadrato di lato unitario. Osserviamo invece che l area sottesa al grafico e compresa tra l asse delle ordinate e la retta x = 1 è effettivamente infinita. Sappiamo che la funzione non è definita per x = 0, quindi calcoliamo il limite per t che tende a 0+ della primitiva: 1 1 dx dx 1 _ = lim+ _2 = lim+ 1 + _ = + 2 x 0 t 0 x t 0 ( t) t Abbiamo così visto come, calcolando il limite, possono essere considerati integrali definiti anche nel caso in cui l intervallo di integrazione non sia limitato. Integrali di questo tipo vengono chiamati integrali impropri. Se una funzione, definita in tutto R, è continua e limitata, possiamo allora dare significato all espressione: + f(x) dx ATTENZIONE! A Essa infatti può essere vista come un modo sintetico di scrivere la somma di due limiti: + 0 f(x) dx = lim t t t f(x) dx + lim f(x) dx t + 0 L scelta di considerare 0 come La elemento di suddivisione dell intervallo ( ; + ) è convenzionale, in realtà avremmo potuto scegliere un qualunque numero a R. La scelta non influenza il risultato. FISSA I CONCETTI x Q PROVA TU P Funzione integrale di f: H(x) = f(t) dt x a Q Teorema fondamentale del calcolo integrale:la funzione integrale di f: H(x ) = f(t) dt è una sua primitiva. Perciò: H (x) = f(x) a b Q a Q b Formula di Newton-Leibniz: f(x) dx = F(x) = F(b) F(a) [ ] a Integrale improprio: uno, o entrambi, gli estremi di integrazione sono . CCalcola i seguenti integrali definiti: 1 a. (3x 1)2 dx 2 8 1_ dx b. _ 3 2 x 1 411

Il Maraschini-Palma - volume 5
Il Maraschini-Palma - volume 5