Il Maraschini-Palma - volume 5

RELAZIONI E FUNZIONI Anche l integrale definito, poiché è calcolato a partire dall integrale indefinito, ha proprietà operative analoghe a quest ultimo. In particolare, anche per l integrale definito vale la legge di linearità: b b b (hf(x) + kg(x)) dx = h f(x) dx + k g(x) dx a a con h, k R a esempio O Calcola l integrale definito analizzato nel primo esempio applicando la legge 2 di linearità ( x3 6 x2 + 11x 6) dx. 1 2 2 2 2 2 x3 6 x2 + 11x 6) dx = x3 dx 6 x2 dx + 11 x dx 6 dx = ( 1 1 1 1 2 x4 2 x3 2 x2 2 = [_] 6 [_] + 11 [_] 6 [ x ] = 4 1 3 1 2 1 1 1 8 1 1 1 1 4 _ 6(_ _) + 11(2 _) 6(2 1) = _ 4 3 3 2 4 Inoltre, trovato il modo di calcolare l integrale definito come differenza dei valori di una funzione primitiva agli estremi dell intervallo di integrazione, possiamo anche dare significato all integrale nel caso in cui il primo estremo sia maggiore del secondo. Se infatti a < b, abbiamo: a b f(x) dx = f(x) dx = F(b) + F(a) a b esempio O Determina l area della regione finita di piano compresa tra i grafici delle funzioni y = x2 + 2x e y = x3. y y A 1,0 O 1,0 1,0 x 2,0 O A 1,0 2,0 x I grafici delle due funzioni si intersecano nell origine e nel punto A(1 ; 1). L area richiesta è data dalla differenza tra l area sottesa all arco di parabola OA e quella sottesa all arco OA della curva y = x3 (figura a destra). 1 1 x3 x2 1 x4 1 area = ( x + 2x) dx x3 dx = [ _ + 2 _] [_] = 3 2 0 4 0 2 0 1 5 1 = _ + 1 _ = _ 3 4 12 410 0

Il Maraschini-Palma - volume 5
Il Maraschini-Palma - volume 5