Il calcolo di un integrale definito

7 Calcolo delle primitive Il legame tra tangente al grafico di una funzione (derivata) e area al di sotto di tale grafico (integrale definito), stabilito dal teorema di Torricelli-Barrow, per quanto, anche all epoca, giudicato sorprendente, trova una sua giustificazione grafica. Infatti, se pensiamo di percorrere il grafico di una funzione aumentando via via la x, osserviamo che l area della superficie sottesa al grafico, è tanto maggiore quanto più la funzione cresce (e, quindi, la derivata è maggiore) (figura a lato). Il teorema chiarisce, quindi, che risolvere il problema dell area (il calcolo dell integrale definito) riporta al problema della tangente (il calcolo della derivata). Inoltre, come ora vedremo più dettagliatamente, esso permette di ridurre il calcolo dell integrale definito di una funzione a quello delle sue primitive, e cioè al calcolo dell integrale indefinito, che abbiamo già trattato. y O x Il calcolo di un integrale definito Supponiamo ora che la funzione y = F(x) sia una primitiva della funzione y = f(x). Poiché anche la funzione integrale: x H(x) = f(t) dt a è una primitiva di f, le due funzioni F e H differiscono tra loro di una costante. Abbiamo cioè: x F(x) = H(x) + k F(x) = f(t) dt + k a Dunque: a F(a) = f(t) dt + k = 0 + k = 0 F(a) = k a e b b b F(b) = f(t) dt + k = f(t) dt + F(a) F(b) = f(t) dt + F(a) a a a e quindi: b F(b) F(a) = f(x) dx a In sintesi, l integrale definito di una funzione f nell intervallo [a ; b] si calcola in questo modo: Q si determina l integrale indefinito della funzione (in sostanza: una sua primitiva F(x)); Q si calcola tale primitiva agli estremi dell intervallo, determinando i numeri reali F(b) e F(a); Q si calcola la differenza F(b) F(a). Possiamo scrivere anche: b a ATTENZIONE! A F(b indica il numero che si ottiene F(b) sostituendo b in F(x), primitiva di f(x). F(a) indica il numero che si ottiene sostituendo a in F(x), primitiva di f(x). b = F(b) F(a) f(x) dx = F(x) [ ] b a La scrittura F(x) [ ]a indica la differenza tra questi due numeri. 407

Il Maraschini-Palma - volume 5
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