La funzione integrale

RELAZIONI E FUNZIONI La funzione integrale Vediamo ora nel dettaglio in quale modo sono collegati i due oggetti. Data una funzione f, il valore del suo integrale definito cambia a seconda dell intervallo considerato. In particolare, se teniamo fisso il primo estremo dell intervallo (convenzionalmente indicato con a) e facciamo variare il secondo estremo, il valore dell integrale dipende funzionalmente da questo secondo estremo. Per seguire l uso corrente di indicare con la lettera x la variabile indipendente, possiamo allora indicare con x il secondo estremo dell intervallo d integrazione e considerare questa funzione, che viene chiamata funzione integrale della funzione f: x ATTENZIONE! A N Nella scrittura della funzione integrale, la variabile della funzione f di partenza è indicata con t per evitare confusione. stato già osservato, d altra parte, che è indifferente il simbolo utilizzato per la variabile di integrazione, in quanto essa è una variabile muta. H(x) = f(t) dt a La funzione integrale dà, per ogni x, il valore dell integrale definito di f nell intervallo [a ; x] e quindi (a meno del segno) fornisce il valore dell area della superficie individuata dal grafico tra a e x. y H(x) O a x Per esempio, consideriamo la funzione integrale H(x) della funzione y = 2x nell intervallo [0 ; 3], e individuiamo alcuni valori della variabile x. Segniamo i corrispondenti valori di H(x), integrale definito di y = 2x calcolati per via geometrica, come aree dei successivi triangoli. Otteniamo: y 1 O x 1 2 3 x x 0 H(x) 0 _1_ 2 _1_ 4 1 1 _3_ 2 _9_ 4 2 4 _5_ 2 25 ___ 4 3 9 Esaminando tali valori, ricaviamo che risulta H(x) = x2. La sua derivata è H (x) = 2x. Quindi H(x) è una primitiva della funzione data. Il teorema di Torricelli e Barrow Quanto accennato finora trova una sua sistemazione rigorosa nel seguente teorema, la cui dimostrazione puoi trovare negli Approfondimenti online. Approfondisci Dimostrazione del teorema (fondamentale del calcolo integrale) TEOREMA (fondamentale del calcolo integrale) Data una funzione y = f(x) continua nell intervallo [a ; b], la sua funzione integrale: x H(x) = f(t) dt a è una sua funzione primitiva. Si ha cioè H (x) = f(x). 406

Il Maraschini-Palma - volume 5
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