Le funzioni integrabili

7 Calcolo delle primitive esempio x2 O Data la funzione y = __ determina, nell intervallo [0 ; 9] il valore c per il quale: 9 9 x_2 dx = 9 f(c) 9 y FISSA I CONCETTI Q 0 L integrale definito della funzione fornisce l area della superficie sottesa all arco della parabola con un estremo nel vertice (l origine). Integrale definito di y = f (x) in [a ; b]: b f(x) dx = lim s n = lim S n n Q 3 Teorema di additività dell integrale definito: b O 1 4 3 3 9 x a Q 1 Come abbiamo visto nel primo paragrafo dell unità 4, tale area è __ di quella 3 92 del corrispondente rettangolo di base 9 e altezza _, cioè 9. Perciò: 9 9 2 x 1 _ dx = _ 9 9 = 27 9 3 0 Dobbiamo quindi avere 27 = 9 f(c) Dovendo essere c positivo: 2 c __ =3 9 n a c b f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx a c Teorema di monotonia dell integrale definito: f(x) g(x) b a Q f(c) = 3. b f(x) dx g(x) dx a Teorema della media per l integrale definito: esiste c [a ; b] tale che: b _ c = 3 3 f(x) dx = f(c) (b a) a Le funzioni integrabili L integrale definito è stato introdotto soltanto per funzioni continue: si può tuttavia estendere la classe delle funzioni per le quali si può considerare l integrale definito. Se, per esempio, abbiamo una funzione a scala e cioè una funzione discontinua formata da tratti rettilinei orizzontali, possiamo definire il suo integrale definito in un intervallo [a ; b] come l area (con segno) della superficie formata dall unione dei rettangoli che essa individua. y 1 O 4 1 x Per esempio è immediato stabilire che: [x + 1] dx = 10, come è evidente nella 0 figura a lato dove è appunto rappresentata nell intervallo [0 ; 4] la funzione parte intera di x + 1 indicata, come ricorderai, come y = [x + 1]. Anche di una funzione che, in un dato intervallo, non è continua, ma è limitata e ha un numero finito di punti di discontinuità, si può, quindi, calcolare l integrale definito. Basta considerare gli integrali definiti in tutti gli intervalli in cui è continua. La classe delle funzioni integrabili (nel senso che se ne può considerare l integrale definito) è dunque più ampia della classe delle funzioni continue. Possiamo così classificare le funzioni (vedi figura a lato). funzioni reali funzioni integrabili (ne esiste l'integrale definito) funzioni continue funzioni derivabili 403

Il Maraschini-Palma - volume 5
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