Il Maraschini-Palma - volume 5

RELAZIONI E FUNZIONI ATTENZIONE! A Il teorema della media assicura che esiste almeno un numero c per cui b f(x) dx a f(c ) = _______ . b a Di tali valori ne possono, naturalmente, esistere più di uno. Se, infatti, nell intervallo [a ; b] la funzione non è strettamente monotòna, è possibile che esistano due (o più) valori c1, c2 distinti, tali che f(c1) = f(c2). y Dimostrazione Poiché la funzione è continua nell intervallo chiuso [a ; b] essa (per il teorema di Weierstrass) ha nell intervallo un minimo, che indichiamo con m, e un massimo, che indichiamo con M. Per ogni x [a ; b], si ha: m f(x) M Possiamo considerare y = m e y = M come due funzioni costanti e allora, in base al teorema della monotonia dell integrale: b a b b m dx f(x) dx M dx a a Ma, come abbiamo visto nell ultimo esempio, l integrale di una funzione costante y = k nell intervallo [a ; b] è k(b a). Perciò: b m(b a) f(x) dx M(b a) a Ne segue che (dividendo tutti i termini per b a): b O a c1 c2 b x In generale il valore c è interno all intervallo [a ; b], ma potrebbe coincidere anche con uno dei due estremi o con entrambi. Per esempio, nel caso della funzione di equazione y = x 3 6x 2 + 8x + 4, il cui grafico è rappresentato di seguito, considerata nell intervallo [0 ; 4] può essere c = 0 ma anche c = 2 o c = 4. y 8 7 6 5 4 3 2 1 2 O 2 1 2 3 4 5x f(x) dx a m _______ M b a La funzione f è continua nell intervallo e, quindi, assume tutti i valori compresi tra il suo minimo m e il suo massimo M. In particolare, esiste perciò un valore c [a ; b] per il quale: b f(x) dx a f(c ) = _______ b a Si ottiene così l uguaglianza enunciata dal teorema. c.v.d. I protagonisti della matematica Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) nato a Torino e morto a Parigi è considerato, insieme a Eulero, tra i più grandi matematici del suo tempo. Ha iniziato la sua attività a soli 19 anni come insegnante di analisi matematica presso la Regia accademia di artiglieria e genio di Torino e nel 1757 ha fondato con alcuni colleghi quella che in seguito è diventata l Accademia delle scienze di Torino. L amicizia epistolare con Jean Baptiste Le Rond d Alembert (17171783) ed Eulero gli è valsa la chiamata, nel 1766, per insegnare presso l Accademia delle scienze di Berlino, proprio per sostituire Eulero, dove è rimasto fino al 1787. Trasferitosi a Parigi su invito di Luigi XVI è diventato membro dell Académie des sciences. Nonostante la ritrosia per le vicende politiche, si è ritrovato a dover scegliere se lasciare la Francia, allora nel vivo della Rivoluzione o accettare l invito a tenere corsi di analisi presso le appena istituite cole normale ed cole polytechnique. Il desiderio di continuare a insegnare e fare ricerca lo ha fatto decidere a rimanere. Le sue lezioni, raccolte in più volumi, sono diventate dei classici della letteratura matematica; in particolare nell opera Théorie des fonctions analytiques (Teoria delle funzioni analitiche) del 1797 Lagrange ha introdotto il concetto di «funzione derivata , il relativo simbolismo y = f (x), oggi ancora in uso. 402

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