Il Maraschini-Palma - volume 5

7 esempi O Dimostra che: Calcolo delle primitive +2 ( x3 x) dx = 0. 2 La funzione f(x) = x3 x è simmetrica rispetto all origine infatti: f( x) = ( x)3 ( x) = x3 + x = (x3 x) = f(x) e anche l intervallo d integrazione [ 2 ; 2] è simmetrico rispetto all origine. Dunque, qualunque sia la superficie individuata a sinistra dell origine, il suo integrale e quello della corrispondente superficie a destra dell origine hanno lo stesso valore assoluto ma segno opposto. La somma dell integrale a sinistra e di quello a destra è quindi 0. Il grafico di y = x3 x evidenzia visivamente quanto abbiamo appena dedotto analiticamente: + ATTENZIONE! A L L esempio evidenzia la differenza tra l area con segno calcolata dall integrale definito e l area della figura (in colore). y O x b O Calcola k dx, essendo k un qualun a que numero reale. Per la funzione costante y = k non c è bisogno di costruire alcuna successione. Se k > 0 l integrale è uguale all area del rettangolo di base b a e altezza k. Se k < 0 l integrale è il valore opposto di tale area. Perciò: b k dx = k(b a) y k O y O a b a b x x k a Dimostriamo ora un teorema dovuto a Joseph-Louis Lagrange (1736-1813). TEOREMA (della media) Data la funzione y = f(x) continua nell intervallo [a ; b], esiste un numero reale c [a ; b], tale che: b f(x) dx = f(c) (b a) a Da un punto di vista geometrico, il teorema esprime il fatto che esiste un opportuno valore interno all intervallo (il numero c) tale che il rettangolo con base il segmento [a ; b] e altezza |f(c)| è equivalente alla superficie sottesa al grafico della funzione. Il numero f(c) rappresenta il valore medio che ha la funzione nell intervallo, nel senso che, se essa assumesse costantemente il valore f(c), avrebbe lo stesso integrale definito in [a ; b] (figura a lato). y f (c) O a c b x 401

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