Le proprietà dell’integrale definito

RELAZIONI E FUNZIONI Possiamo fare un calcolo analogo per Sn ottenendo: 3 5n + 3 15n + 9 Sn = ___ ______ = _______ 2n 2 4n Poiché: 15n 9 15 15n + 9 15 lim _ = _ e n lim _ = _ n 4n 4 4n 4 4 x 15 lim s n = n lim S n = _ avremo che: _ dx = n 2 4 1 FISSA I CONCETTI lim s n n = lim S n = integrale definito. n Come mostrato nell esempio, la definizione di integrale definito risolve teoricamente il problema di determinare l area sottesa al grafico di una qualunque funzione continua, ma non è particolarmente agevole. Già in casi non complicati, come l esempio appena visto, la determinazione del limite delle successioni sn e Sn non è immediata. Tuttavia, come vedremo, grazie alle proprietà dell integrale definito, non dovremo mai calcolare, nella pratica, il limite di tali successioni. Le proprietà dell integrale definito Dalla sua definizione otteniamo immediatamente due proprietà dell integrale definito. TEOREMA (additività dell integrale) Se c [a ; b], allora: b c b f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx a a c Dimostrazione Basta considerare le successioni dei rettangoli iscritti e circoscritti alla funzione limitatamente agli intervalli [a ; c] e [c ; b] e tenere presente che se ogni termine di una successione è la somma dei termini di altre due successioni, anche il suo limite è la somma dei limiti delle due successioni. c.v.d. TEOREMA (monotonia dell integrale) Se due funzioni continue f e g sono tali che f(x) g(x) per ogni x [a ; b], allora: b a b f(x) dx g(x) dx a Dimostrazione Data una qualunque suddivisione dell intervallo [a ; b], per le ipotesi poste abbiamo, per ogni i {1, ..., n} maxi(f) maxi(g) mini(f) mini(g) I termini delle successioni sn e Sn relative a f sono quindi minori o uguali dei corrispondenti termini delle successioni relative a g. Anche il limite comune relativo a f è quindi minore o uguale al limite comune relativo a g. c.v.d. 400

Il Maraschini-Palma - volume 5
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