Il Maraschini-Palma - volume 5

7 Calcolo delle primitive L integrale definito fornisce l area con segno: è dunque un numero reale. La relazione tra integrale definito di una funzione y = f(x) in un intervallo [a ; b] e l area A della regione compresa tra il grafico della funzione e l asse delle ascisse, nello stesso intervallo è ricavabile come indicato nella seguente tabella: Area sottesa Segno y = f (x) y b se f(x) 0 in [a ; b] + A = f(x) dx O a y b se f(x) 0 in [a ; b] Grafico a b a b O A = f(x)dx x x a se f(x) 0 in [a ; c] e f(x) 0 in [c ; b] c b A = f(x) dx f(x) dx a c ATTENZIONE! A L i L integrale definito di una funzione in un intervallo è un numero reale: la lettera x che compare nel simbolo dell integrale definito non gioca perciò nessun ruolo particolare, in quanto scompare una volta calcolato l integrale. , come si dice, una «variabile muta che segnala come effettuare il calcolo, ma non ne influenza il risultato. In ciò ha un ruolo simile a quello dell indice che compare nel simbolo di sommatoria, il quale può essere indicato in qualunque modo senza che per questo cambi il risultato del calcolo: n n n ai = a j = a t = i=1 y + c b O a t=1 j=1 Si può quindi indifferentemente scrivere: x b b b f(x) dx = f(t) dt = f(u) du = a a a esempio O Determina, sia geometricamente sia analiticamente (attraverso la definizione 1 di integrale definito), l area sottesa al grafico della funzione y = __x nell inter2 vallo [1 ; 4]. 1 La funzione y = _ x ha come grafico la retta passante per l origine come indi2 cato in figura. C y 1 O D A B x Geometricamente 1 15 areaABCD = areaOBC areaOAD = 4 __ = ___ 4 4 Analiticamente Suddividiamo in n parti l intervallo [1 ; 4] ottenendo, così, i seguenti interval3 li ognuno di ampiezza __, con relativi minimi e massimi: n intervallo minimo _3_ _3_ _3_ [1 ; 1 + n ] [1 + n ; 1 + 2 n ] _1_ 2 3 1 massimo __ (1 + __) 2 n .............................. _3_ _3_ [1 + i n ; 1 + (i + 1) n ] _1_ 1 + _3_ .............................. _1_ 1 + i _3_ _1_ 1 + 2_3_ .............................. _1_ 1 + (i + 1) _3_ 2( 2( n) n) 2( 2( .............................. .............................. n) n) _3_ [1 + (n 1) n ; 4] _1_ 1 + (n 1)_3_ 2( .............................. n) 2 Abbiamo perciò: 3 1 n 1 3 s n = _ _ (1 + i _) n 2 i=0 n Poiché i termini della sommatoria costituiscono una progressione aritmetica n 1 con primo termine a0 = 1 e ultimo termine an 1 = 1 + 3 _____, avremo: n a0 + an 1 ___ 3 ________ 3 ______ 5n 3 _______ 15n 9 ___ sn = n = = 2n 2 2n 2 4n ATTENZIONE! A D una progressione aritmetica Data di primo termine a0 e ultimo termine an 1, abbiamo n 1 a 0 + a n 1 sn = ai = n _ 2 i=0 399

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