Il Maraschini-Palma - volume 5

RELAZIONI E FUNZIONI Considerando i successivi valori di n N costruiamo la successione sn delle aree delle figure inscritte e la successione Sn delle aree delle figure circoscritte. La successione sn è così formata: Q s1 = area inscritta del rettangolo di base [a ; b]; Q s2 = area inscritta dei 2 rettangoli aventi come basi 2 parti uguali di [a ; b]; Q ... Q sn = area inscritta degli n rettangoli aventi come basi n parti uguali di [a ; b]. In modo analogo è formata la successione Sn, con le aree circoscritte. La successione sn è non decrescente e limitata superiormente; la successione Sn è non crescente e limitata inferiormente; poiché la funzione è continua, la loro differenza (aumentando n) può essere resa piccola quanto si vuole. Infatti, all aumentare di n diminuisce l ampiezza h e, quindi, lo scarto tra il massimo e il minimo della funzione tende a zero in ogni singola parte dell intervallo: lim S n lim s = n n n Il valore comune di questo limite è per definizione l area della superficie individuata dall asse delle ascisse e dal grafico della funzione continua y = f(x), nell intervallo chiuso [a ; b]. Se poi consideriamo una funzione continua, ma sempre negativa nell intervallo [a ; b], il ruolo dei termini che costituiscono le due successioni sn e Sn si inverte. Infatti, la superficie formata con i rettangolini individuati dai minimi della funzione è questa volta circoscritta alla superficie individuata dal grafico della funzione, mentre la superficie collegata ai massimi ne è inscritta. y O a b x Non cambia tuttavia la sostanza del ragionamento svolto in precedenza, in quanto le due successioni tendono allo stesso limite. Ciò che cambia è che, in questo caso, il limite è un numero reale negativo e non può pertanto rappresentare un area. L area della superficie, se la funzione è negativa, è data perciò dall opposto del limite comune alle due successioni. Per questo motivo si rende necessario dare a tale limite comune un nome diverso dal termine «area . DEFINIZIONE KEYWORDS K in integrale definito / definite integral Si chiama integrale definito della funzione continua y = f(x) nell intervallo chiuso [a ; b] il limite comune delle due successioni: n n i=1 i=1 sn = mi ni(f ) h e Sn = ma xi(f ) h e si indica con il simbolo: b f(x) dx (si legge: integrale da a a b di f(x) in dx). a a Per definizione poniamo inoltre f(x) dx = 0. a 398

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