Il Maraschini-Palma - volume 5

RELAZIONI E FUNZIONI Riassumiamo queste informazioni in una tabella in cui riportiamo le primitive di alcune funzioni deducibili dalle corrispondenti derivate. ATTENZIONE! A N Nella tabella le primitive sono considerate a meno di una costante k R. Queste relazioni tra funzione e sue primitive valgono negli intervalli in cui la funzione della quale si ricerca la primitiva è definita e continua. 1 Anche P (__) = ln|x| vale negli x intervalli ( ; 0) e (0 ; + ) in cui 1 la funzione y = __ è definita. x f (x) P (f) y=0 y=a y=a y = ax D (f) y=0 y=0 2 x y = __ 2 xn + 1 _____ (con n 1) y= n+1 y=1 y = ln|x| y = x 2 y = senx y = cosx y = cosx y = cosx y = senx y = senx 1 y = ______ cos2x y = ex y = tanx y = lnx y = xlnx x 2senx y = ______ cos3x y = ex 1 y = __ x y=x y = xn 1 y = x 1 = __ x y = ex y = nx n 1 La primitiva considerata nell ultima riga della tabella non è ricavabile con gli strumenti matematici di cui disponi; per questo motivo ci limitiamo a verificare che effettivamente la sua derivata è la funzione f: 1 D(xlnx x) = D(xlnx) D(x) = lnx + x __ 1 = lnx x KEYWORDS K Dalla tabella ricaviamo un elenco di integrali elementari: in integrale elementare / elementary integral a dx = ax + k (con a R) xn+1 xn dx = _ + k n+1 (con n R, n 1) cosx dx = senx + k 1 _ dx = tanx + k cos2 x 1 _ dx = ln|x| + k x senx dx = cosx + k ex dx = ex + k lnx dx = xlnx x + k esempi O Calcola i seguenti integrali indefiniti: ATTENZIONE! A del tutto equivalente richiedere di ricercare l insieme delle funzioni primitive di una funzione f o di calcolare l integrale indefinito della funzione f. 394 a. (senx + 2cosx) dx b. 2 2 sen x + cos x _____________ dx 2 1 sen x c. 1 _ + 2 dx ) (x7 Integriamo le funzioni date: (senx + 2cosx) dx = senx dx + 2 cosx dx = cosx + 2senx + k 1 b. La funzione da integrare può essere riscritta come _ . 2 cos x 2 2 sen x + cos x dx = tanx + k Quindi: _____________ 1 sen2 x 1 1 x 6 1 c. Poiché _7 = x 7 si ha: _7 + 2 dx = _ + 2x + k = _6 + 2x + k ) (x 6 x 6x a.

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