Il Maraschini-Palma - volume 5

RELAZIONI E FUNZIONI Dunque anche per le primitive abbiamo: (f(x ) g(x))dx = f(x) dx g(x) dx Inoltre, poiché per ogni a R, D(a f) = a D(f) abbiamo anche che, per ogni a R: a f(x) dx = a f(x) dx Più in generale, stabiliamo il seguente teorema. TEOREMA (linearità dell integrale) APPROFONDIMENTO A U combinazione lineare di Una due funzioni f e g è un espressione del tipo af + bg, con a, b R e non entrambi nulli. Il teorema afferma dunque che la primitiva di una combinazione lineare di due funzioni è uguale alla combinazione lineare delle loro rispettive primitive. Se y = f(x) e y = g(x) sono due funzioni reali e a e b due qualsiasi numeri reali: (a f (x) + b g(x)) dx = a f(x) dx + b g(x) dx esempio O Calcola (3x senx) dx. Per il teorema precedente, abbiamo: (3x senx) dx = 3 x dx + ( senx) dx Ricordando le derivate delle funzioni fondamentali: 3 (3x senx) dx = _ x2 + cosx + k 2 Sappiamo poi che la derivata di un prodotto di funzioni non è uguale al prodotto delle singole derivate. Anche per le primitive è bene ricordare che l integrale di un prodotto di funzioni non è uguale al prodotto degli integrali delle singole funzioni. 1 Per esempio consideriamo il prodotto delle due funzioni y = x e y = __. x 1 _ x dx = dx = x + k ( x) Al contrario il prodotto dei due integrali dà il seguente risultato: x2 1 x dx _ dx = _ ln|x| + k x 2 FISSA I CONCETTI Q Q Q Funzione primitiva di f : funzione la cui derivata è f. Le funzioni primitive differiscono tra loro di una costante. f(x) dx = {F (x) + k, k R} oppure f(x) dx = F (x) + k, k R} Q Q Integrazione di f : ricerca delle primitive di f. (af + bg) dx = a f dx + b g dx 392 esempio O Date le funzioni f(x) = 3x e g(x) = x verifichiamo che: (f(x ) g(x)) dx f(x) dx g(x) dx infatti x3 (f(x ) g(x)) dx = 3x2 dx = 3__ + k = x3 + k 3 3 x2 x2 3 f(x) dx g(x) dx = _ _ + k = _ x4 + k 4 2 2

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