Il Maraschini-Palma - volume 5

6 Derivate e grafici ESERCIZI Disegna il grafico delle seguenti funzioni, nel loro insieme di definizione. esercizio svolto x3 y = _________ x2 x 2 La funzione è definita per x2 x 2 0 x 1, x 2. L insieme di definizione è pertanto R { 1, 2}. Studiamo il comportamento della funzione agli estremi dell insieme di definizione: x3 lim _________ = x 1 x2 x 2 x = 1 è un asintoto verticale x3 = lim _________ x 2 x2 x 2 x = 2 è un asintoto verticale Poiché y > 0 per 1 2, si ha: x3 lim _________ = 2 x 1 x x 2 x3 lim + _________ = + 2 x 1 x x 2 x3 = lim _________ 2 x 2 x x 2 x3 lim+ _________ = + 2 x 2 x x 2 L unico zero della funzione è x = 0; dunque la funzione passa per l origine. Analizziamo quindi l andamento della funzione all infinito: x3 lim _________ = x x2 x 2 dunque la funzione non ha asintoti orizzontali. Poiché il grado del numeratore supera di uno il grado del denominatore, la funzione avrà un asintoto obliquo, che si determina scrivendo la funzione nella forma: 3 3x + 2 x _________ = x + 1 + _________ x2 x 2 x2 x 2 y = x + 1 è perciò un asintoto obliquo. Abbiamo, inoltre: x2(x2 2x 6) y = _____________ (x2 x 2)2 __ y = 0 per x = 0, x = 1 7 __ __ Poiché y > 0__per x 1 + 7, la funzione in tali intervalli__ è crescente. Inoltre, in corrispondenza di x = 1 7 ha un massimo relativo, in corrispondenza di x = 1 + 7 ha un minimo relativo e in corrispondenza di x = 0 ha un flesso discendente, l origine del riferimento cartesiano. Calcoliamo le ordinate dei punti stazionari: __ __ __ __ 20 14 7 20 14 7 1 7 ; __________ è il massimo relativo y(1 7) = __________ ( ) 9 9 __ __ 20 + 14 7 y(1 + 7) = __________ __ __ 20 + 14 7 1 + 7 ; __________ ( 9 Calcoliamo ora la derivata seconda: 9 ) è il minimo relativo 6x(x2 + 2x + 4) y = _____________ (x2 x 2)3 Essa è positiva per 1 2, dunque la funzione in tali intervalli volge la concavità verso l alto. 381

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