Il Maraschini-Palma - volume 5

6 Derivate e grafici ESERCIZI 2 Alcune caratteristiche del grafico di una funzione qualsiasi Teoria da pag. 321 PER FISSARE I CONCETTI 175 Come si stabilisce la natura di un punto stazionario? 179 LESSICO Descrivi come si determina l equazione dell asintoto obliquo. 180 Descrivi come si determina la concavità di una curva. 176 Quando una funzione ammette massimo e mini- mo assoluti? 177 Come si determinano il massimo e il minimo as- soluto per una funzione? 178 Spiega qual è la condizione necessaria nello studio di una funzione affinché possa avere l asintoto obliquo? ARGOMENTA LESSICO 181 Elenca e rappresenta graficamente i possibili fles- si che può avere una funzione, specificando come si determinano. Come possiamo disegnare il grafico della funzione derivata a partire dal grafico della funzione f? Per le seguenti funzioni, determina se esistono e quali sono gli eventuali punti stazionari; analizza poi quali tra essi sono minimi, massimi o flessi orizzontali (le risposte sono relative ai punti stazionari). esercizio svolto 1 + x2 y = _________2 1 x La funzione è definita per 1 x2 0 x 1. L insieme di definizione è quindi {x R x 1}. La funzione è continua e derivabile nell insieme di definizione. Per determinare i punti stazionari calcoliamo la derivata della funzione e troviamone gli zeri: 2x(1 x2) + 2x(1 + x2) ________ 4x = y = ___________________ (1 x2)2 (1 x2)2 4x ________ =0 x=0 (1 x2)2 La funzione ha un punto stazionario per x = 0. Calcoliamone l ordinata. Essendo f(0) = 1, il punto stazionario è (0 ; 1). Studiamo ora il segno della derivata, per stabilire se il punto è un minimo relativo, un massimo relativo o un flesso a tangente orizzontale. Abbiamo: y > 0 per x > 0 la funzione è crescente per x > 0 y < 0 per x < 0 la funzione è decrescente per x < 0 Quindi il punto (0 ; 1) è un minimo relativo. Poiché la funzione è definita in un insieme aperto ed è: 1 + x2 lim ______2 = x 1 1 x 1 + x2 lim ______2 = x +1 1 x esso non ha minimo assoluto né massimo assoluto. 3 1+x 2(2x + 1) 183 y = ________ x(x 4) 182 y = ______2 [(0 ; 3)] _1_ [( 2 ; 2), (1 ; 2)] 6x (x 1) 184 y = _______2 _ 185 y = x _3_ [( 1 ; 2)] [nessuno] 373

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