Il Maraschini-Palma - volume 5

6 ESERCIZI Derivate e grafici Dopo aver disegnato il grafico della funzione data scrivi l equazione (le equazioni) della retta (delle rette) a esso tangente (tangenti) nel punto indicato. esercizio svolto y = x3 x2 + 2x 2 nel punto di intersezione con l asse delle ascisse. Determiniamo le coordinate del punto richiesto, risolvendo innanzitutto l equazione x3 x2 + 2x 2 = 0. Scomponiamo il polinomio con raccoglimento parziale: x3 x2 + 2x 2 = x2(x 1) + 2(x 1) = (x 1)(x2 + 2) l equazione ha una sola soluzione reale: x0 = 1. Il punto richiesto è pertanto P0(1 ; 0). La pendenza della retta tangente in P0 è la derivata della funzione in x0 = 1. Essendo y = 3x2 2x + 2, è m = y (1) = 3. La tangente cercata ha quindi equazione: y = 3(x 1) y = 3x 3 48 x4 y = __ 2x + 3 nel suo punto di ascissa 2 4 x2 y = x3 __ + 3x nell origine 2 x 1 y = x3 2x2 + __ 1 nel suo punto di ascissa __ 2 __ 2 x4 3 __ y = 2x + 1 nel suo punto di ascissa 2 2 y = x3 5x + 6 nel suo punto di ascissa 1 49 y = x3 x2 9x + 6 nel suo punto di ascissa 2 50 y = (x + 1)(x2 + 2) nel suo punto di ascissa 2 51 y = x2 5x + 7 nei suoi punti di intersezione con la retta y = 1 [x y 2 = 0; x + y 3 = 0] 52 y = x2 + 4x + 5 nel suo punto di intersezione con la retta y = 1 [y = 1] 53 y = x2 3x 5 nel punto in cui la tangente al grafico è parallela alla retta 3x y = 2 54 Disegnato il grafico della funzione y = x2(x 3), considera i suoi punti in cui le tangenti sono parallele alla retta 9x y 1 = 0. Scrivi le equazioni delle perpendicolari alle tangenti passanti per tali punti. 44 45 46 47 [y = 6x 9] [y = 3x] __ 3 3 [y = __ x __] 4 4 __ [y = (4 2 12)x + 8 2 5] [y = 2x + 8] [y = x 6] [y = 18x 18] [3x y = 14] [x + 9y = 3; x + 9y = 37] 2 Segna sulla parabola y = x + x i punti A(1 ; 2) e O(0 ; 0). Individua il punto P in cui la tangente in A incontra la normale in O (cioè la retta passante per O e perpendicolare alla tangente in O alla parabola). [P(_1_ ; _1_)] 4 4 x2 __ 56 Data la parabola y = , scrivi le equazioni delle due rette, a essa tangenti, che si intersecano nel punto 4 [y = 2x 4; y = x 1] P(1 ; 2). 55 Data la parabola 2y 6 = x2 + 8x, individua la retta del fascio improprio di direzione m = 1 che ha con essa un solo punto di intersezione. Determina le coordinate di tale punto P e verifica, con l aiuto della derivata, che la retta è tangente alla parabola. _3_ _9_ [y = x 2 , ( 3 ; 2)] 58 La retta tangente al grafico della funzione y = x3 6x2 + 8x nel suo punto di ascissa 3 incontra il grafico stes[P(0 ; 0)] so in un altro punto; scrivi le sue coordinate. 57 Dimostra analiticamente che la retta tangente al grafico della funzione y = x4 + 2x2 + x nel punto A( 1 ; 0) è a esso tangente anche nel punto B(1 ; 2). 4x2 1 60 Per quale valore di x le tangenti ai rispettivi grafici delle funzioni y = ___ e y = x3 sono perpendicolari? [ __ 2] 3 59 363

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